Комплексные числа кратко и понятно. Где применяются комплексные числа? Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексные числа. История открытия

Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того, как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение.

Ф. Клейн

Древнегреческие математики считали "настоящими" только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного, как

. Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что "… элементы чисел являются элементами всех вещей, и весь мир в целом является гармонией и числом". Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применял в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа

, чтобы .

В XVI веке, в связи с изучением кубических уравнений, оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида

кубические и квадратные корни: .

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (

), а если оно имеет три действительных корня ( ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее, нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее, всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида

, , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что . Кардано называл такие величины "чисто отрицательными " и даже "софистически отрицательными ", считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название "мнимые числа " ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин "комплексные числа " также был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus ) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707):

. С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

"Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств", - писал Л. Карно.

В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число

точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.

1.ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.

Так для решимости уравнений вида X+A=B положительных чисел недостаточно. Например, уравнение X+5=2 не имеет положительных корней. Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль.

На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида A· X+B=0 (A0). Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такими являются уравнения X 2 =2, X 3 =5. Необходимость решения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение X 2 +1=0. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.

Выясним предварительно, какой вид должны иметь комплексные числа. Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение X 2 +1=0 имеет корень. Обозначим этот корень буквой i Таким образом, i – это комплексное число, такое, что i 2 = –1.

Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения и умножения комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел A и B выражение A+B· i можно считать записью комплексного числа в общем виде. Название “комплексное” происходит от слова “составное”: по виду выражения A+B· i .

Комплексными числами называют выражения вида A+B· i , где A и B –действительные числа, а i – некоторый символ, такой что i 2 = –1, и обозначают буквой Z.

Число A называется действительной частью комплексного числа A+B· i , а число B – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.

Например, действительная часть комплексного числа 2+3· i равна 2, а мнимая равна 3.

Для строгого определения комплексного числа нужно ввести для этих чисел понятие равенства.

Два комплексных числа A+B· i и C+D· i называются равными тогда и только тогда, когда A=C и B=D, т.е. когда равны их действительные и мнимые части.

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A+B· i можно рассматривать как пару действительных чисел(A;B). Поэтому естественно комплексное число изображать точками плоскости. В прямоугольной системе координат комплексное число Z=A+B· i изображается точкой плоскости с координатами (A;B), и эта точка обозначается той же буквой Z (рисунок 1). Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Оно дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки плоскости на которой выбрана система координат. Такая координатная плоскость называется комплексной плоскостью . Ось абсцисс называется действительной осью , т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.

Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа A+B· i как вектора, т.е. вектора с началом в точке

O(0;0) и с концом в точке М(A;B) (рисунок 2).

Соответствие установленное между множеством комплексных чисел, с одной стороны, и множествами точек или векторов плоскости, с другой, позволяет комплексные числа точками или векторами.

3.МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Пусть дано комплексное число Z=A+B· i . Сопряженным с Z называется комплексное число A – B· i , которое обозначается , т.е.

A – B· i .

Отметим, что = A+B· i , поэтому для любого комплексного числа Z имеет место равенство =Z.

Модулем комплексного числа Z=A+B· i называется число и обозначается , т.е.

Из формулы (1) следует, что для любого комплексного числа Z, причем =0 тогда и только тогда, когда Z=0, т.е. когда A=0 и B=0. Докажем, что для любого комплексного числа Z справедливы формулы:

4.СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Суммой двух комплексных чисел A+B· i и C+D· i называется комплексное число (A+C) + (B+D)· i , т.е.(A+B· i ) + (C+D· i )=(A+C) + (B+D)· i

Произведением двух комплексных чисел A+B· i и C+D· i называется комплексное число (A· C – B· D)+(A· D+B· C) · i , т.е.

(A + B· i )· (C + D· i )=(A· C – B· D) + (A· D + B· C)· i

Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять по правилам действий с многочленами, считая i 2 = –1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:

Переместительное свойство:

Z 1 +Z 2 =Z 2 +Z 1 , Z 1· Z 2 =Z 2· Z 1

Сочетательное свойство:

(Z 1 +Z 2)+Z 3 =Z 1 +(Z 2 +Z 3), (Z 1· Z 2)· Z 3 =Z 1· (Z 2· Z 3)

Распределительное свойство:

Z 1· (Z 2 +Z 3)=Z 1· Z 2 +Z 1· Z 3

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Согласно определению сложения двух комплексных чисел, действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых. Точно также определяются координаты суммы векторов:

Сумма двух векторов с координатами (A 1 ;B 1) и (A 2 ;B 2) есть вектор с координатами (A 1 +A 2 ;B 1 +B 2). Поэтому, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел Z 1 и Z 2 нужно сложить векторы, соответствующие комплексным числам Z 1 и Z 2 .

Пример 1: Найти сумму и произведение комплексных чисел Z 1 =2 – 3× i и

Z 2 = –7 + 8× i .

Z 1 + Z 2 = 2 – 7 + (–3 + 8)× i = – 5 + 5× i

Z 1× Z 2 = (2 – 3× i )× (–7 + 8× i ) = –14 + 16× i + 21× i + 24 = 10 + 37× i

5.ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чиселZ 1 и Z 2 существует, и притом только одно, число Z, такое, что:

Если к обеим частям равенства прибавить (–Z 2) противоположное числу Z 2:

Z+Z 2 +(–Z 2)=Z 1 +(–Z 2), откуда

Число Z=Z 1 +Z 2 называют разностью чисел Z 1 и Z 2 .

Деление вводится как операция, обратная умножению:

Z× Z 2 =Z 1

Разделив обе части на Z 2 получим:

Из этого уравнения видно, что Z 2 0

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Разности Z 2 – Z 1 комплексных чисел Z 1 и Z 2 , соответствует разность векторов, соответствующих числам Z 1 и Z 2 . Модуль разности двух комплексных чиселZ 2 и Z 1 по определению модуля есть длина вектора Z 2 – Z 1 . Построим этот вектор, как сумму векторов Z 2 и (–Z 1) (рисунок 4). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.

Это важное геометрическое истолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехом использовать простые геометрические факты.

Пример 2: Даны комплексные числа Z 1 = 4 + 5· i и Z 2 = 3 + 4· i . Найти разность Z 2 – Z 1 и частное

Z 2 – Z 1 = (3 + 4· i ) – (4 + 5· i ) = –1 – i

6.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Запись комплексного числа Z в виде A+B· i называется алгебраической формой комплексного числа. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записи комплексных чисел.

Рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B· i выражаются через его модуль = rи аргумент j следующим образом:

A= r· cosj ; B= r· sinj .

Число Z можно записать так:

Z= r· cosj + i· · sinj = r· (cosj + i· sinj )

Z = r· (cosj + i· sinj ) (2)

Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа .

r =– модуль комплексного числа.

Число j называют аргументом комплексного числа.

Аргументом комплексного числа Z0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если производится по часовой стрелке.

Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случае число задается только своим модулем.

Как уже говорилось выше = r =, равенство (2) можно записать в виде

A+B· i =· cosj + i· · sinj , откуда приравнивая действительные и мнимые части, получим:

cosj =, sinj = (3)

Если sinj поделить на cosj получим:

tgj = (4)

Эту формулу удобней использовать для нахождения аргумента j , чем формулы (3). Однако не все значения j , удовлетворяющие равенству (4), являются аргументами числа A+B· i . Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, в какой четверти расположена точка A+B· i .

7.СВОЙСТВА МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.

Пусть Z 1 = r 1· (cosj 1 + i· sinj 1), Z 2 = r 2· (cosj 2 + i· sinj 2). Тогда:

Z 1 Z 2 = r 1· r 2 =

= r 1· r 2 .

Таким образом, произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

Z 1 Z 2 = r 1· r 2 (5)

Из формулы (5) следует, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Если Z 1 =Z 2 то получим:

Z 2 = 2 = r 2· (cos2j + i· sin2j )

Z 3 =Z 2· Z= r 2· (cos2j + i· sin2j )· r· (cosj + i· sinj )=

= r 3· (cos3j + i· sin3j )

Вообще для любого комплексного числа Z = r· (cosj + i· sinj )0 и любого натурального числа n справедлива формула:

Z n =[ r· (cosj + i· sinj )] n = r n· (cosnj + i· sinnj ), (6)

которую называют формулой Муавра.

Частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

[ cos(j 1 – j 2) + i· sin(j 1 – j 2)]. (7)

= = cos(–j 2) + i· sin(–j 2)

Используя формулу 5

(cosj 1 + i· sinj 1)× (cos(–j 2) + i· sin(–j 2)) =

cos(j 1 – j 2) + i· sin(j 1 – j 2).

Пример 3:

Число –8 запишем в тригонометрической форме

8 = 8· (cos(p + 2p k ) + i ·sin(p + 2p k )), k Î Z

Пусть Z = r× (cosj + i×

r 3× (cos3j + i× sin3j ) = 8· (cos(p + 2p k ) + i ·sin(p + 2p k )), k Î Z

Тогда 3j =p + 2p k , k Î Z

j = , k Î Z

Следовательно:

Z = 2· (cos() + i ·sin()), k Î Z

k = 0,1,2...

k = 0

Z 1 = 2· (cos + i ·sin) = 2· (i ) = 1+× i

k = 1

Z 2 = 2· (cos( + ) + i ·sin( + )) = 2· (cosp + i ·sinp ) = –2

k = 2

Z 3 = 2· (cos( + ) + i ·sin( + )) = 2· (cos + i ·sin) = 1–× i

Ответ: Z 13 = ; Z 2 = –2

Пример 4:

Число 1 запишем в тригонометрической форме

1 = 1· (cos(2p k ) + i ·sin(2p k )), k Î Z

Пусть Z = r× (cosj + i× sinj ), тогда данное уравнение запишется в виде:

r 4× (cos4j + i× sin4j ) = cos(2p k ) + i ·sin(2p k )), k Î Z

4j = 2p k , k Î Z

j = , k Î Z

Z = cos+ i× sin

k = 0,1,2,3...

k = 0

Z 1 = cos0+ i× sin0 = 1 + 0 = 1

k = 1

Z 2 = cos+ i× sin = 0 + i = i

k = 2

Z 3 = cosp + i ·sinp = –1 + 0 = –1

k = 3

Z 4 = cos+ i× sin

Ответ: Z 13 = 1

Z 24 = i

8.ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ

Из формулы 6 видно, что возведение комплексного числа r· (cosj + i· sinj ) в целую положительную степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

[ r· (cosj + i· sinj )] n = r n· (cos nj + i· sin nj )

Число Z называется корнем степени n из числа w (обозначается ), если Z n =w .

Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения Z n = w является корнем степени n из числа w . Другими словами, для того, чтобы извлечь корень степени n из числа w , достаточно решить уравнение Z n = w . Если w =0, то при любом n уравнение Z n = w имеет только одно решение Z = 0. Если w 0, то и Z 0 , а, следовательно, и Zи w можно представить в тригонометрической форме

Z = r· (cosj + i· sinj ), w = p· (cosy + i· siny )

Уравнение Z n = w примет вид:

r n· (cos nj + i· sin nj ) = p· (cosy + i· siny )

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемыми, кратными 2p . Следовательно, r n = p и nj = y + 2p k, гдеkÎ Z или r = и j = , где kÎ Z .

Итак, все решения могут быть записаны следующим образом:

Z K =, kÎ Z (8)

Формулу 8 называют второй формулой Муавра .

Таким образом, если w 0, то существует ровно n корней степени n из числа w : все они содержатся в формуле 8. Все корни степениn из числа w имеют один и тот же модуль , но разные аргументы, отличающиеся слагаемым, кратным числу . Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из комплексного числа w , соответствует точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n– угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точке Z = 0.

Символ не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим символом подразумевается. Например, используя запись , следует подумать о том, чтобы было ясно, понимается под этим символом пара комплексных чисел i и –i , или одно, то какое именно.

Уравнения высших степеней

Формула 8 определяет все корни двучленного уравнения степени n. Неизмеримо сложнее обстоит дело в случае общего алгебраического уравнения степени n:

a n× Z n + a n–1× Z n–1 +...+ a 1× Z 1 + a 0 = 0 (9)

Где a n ,..., a 0 – заданные комплексные числа.

В курсе высшей математики доказывается теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайней мере один корень. Эта теорема была доказана немецким математиком Карлом Гауссом в 1779 году.

Опираясь на теорему Гаусса, можно доказать, что левая часть уравнения 9 всегда может быть представлена в виде произведения:

Где Z 1 , Z 2 ,..., Z K – некоторые различные комплексные числа,

а a 1 ,a 2 ,...,a k – натуральные числа, причем:

a 1 + a 2 + ... + a k = n

Отсюда следует, что числа Z 1 , Z 2 ,..., Z K являются корнями уравнения 9. При этом говорят, что Z 1 является корнем кратности a 1 , Z 2 – корнем кратности a 2 и так далее.

Теорема Гаусса и только что сформулированная теорема дают решения о существовании корней, но ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если корни первой и второй степени могут быть легко найдены, то для уравнений третей и четвертой степеней формулы громоздки, а для уравнений степени выше четвертой таких формул вообще не существует. Отсутствие общего метода не мешает отыскивать все корни уравнения. Для решения уравнения с целыми коэффициентами часто оказывается полезной следующая теорема: целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

Докажем эту теорему:

Пусть Z = k – целый корень уравнения

a n× Z n + a n–1× Z n–1 +...+ a 1× Z 1 + a 0 = 0

с целыми коэффициентами. Тогда

a n× k n + a n–1× k n–1 +...+ a 1× k 1 + a 0 = 0

a 0 = – k(a n× k n–1 + a n–1× k n–2 +...+ a 1)

Число в скобках, при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит k – делитель числа a 0 .

9.КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение Z 2 = a, где a – заданное действительное число, Z – неизвестное.

Это уравнение:

Запишем число a в виде a = (– 1)× (– a) = i 2× = i 2× () 2 . Тогда уравнение Z 2 = a запишется в виде:Z 2 – i 2× () 2 = 0

т.е. (Z – i× )(Z + i× ) = 0

Следовательно, уравнение имеет два корня: Z 1,2 = i×

Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами

a× Z 2 + b× Z + c = 0

По известной общей формуле

Z 1,2 = (10)

Итак, при любых действительных a(a0), b, c корни уравнения можно находить по формуле 10. При это если дискриминант, т.е. подкоренное выражение в формуле 10

D = b 2 – 4× a× c

положителен, то уравнение a× Z 2 + b× Z + c = 0 два действительных различных корня. Если D = 0, то уравнение a× Z 2 + b× Z + c = 0 имеет один корень. Если D < 0, то уравнение a× Z 2 + b× Z + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

Комплексные корни квадратного уравнения обладают такими же свойствами, как и известные нам свойства действительных корней.

Сформулируем основные из них:

Пусть Z 1 ,Z 2 – корни квадратного уравнения a× Z 2 + b× Z + c = 0, a0. Тогда справедливы свойства:

Z 1× Z 2 =

При всех комплексных Z справедлива формула

a× Z 2 + b× Z + c = a× (Z – Z 1)× (Z – Z 2)

Пример 5:

Z 2 – 6·Z + 10 = 0

Д = b 2 – 4·a·c

Д = 6 2 – 4·10 = – 4

– 4 = i 2 ·4

Z 1,2 =

Ответ: Z 1 = Z 2 = 3 + i

Пример 6:

3·Z 2 +2·Z + 1 = 0

Д = b 2 – 4·a·c

Д = 4 – 12 = – 8

Д = –1·8 = 8·i 2

Z 1,2 = =

Ответ: Z 1 = Z 2 = –

Пример 7:

Z 4 – 8·Z 2 – 9 = 0

t 2 – 8·t – 9 = 0

Д = b 2 – 4·a·c = 64 + 36 = 100

t 1 = 9 t 2 = – 1

Z 2 = 9 Z 2 = – 1

Z 3,4 =i

Ответ: Z 1,2 =3, Z 3,4 =i

Пример 8:

Z 4 + 2·Z 2 – 15 = 0

t 2 + 2·t – 15 = 0

Д = b 2 – 4·a·c = 4 + 60 = 64

t 1,2 = = = –14

t 1 = – 5 t 2 = 3

Z 2 = – 5 Z 2 = 3

Z 2 = – 1·5 Z 3,4 =

Z 2 = i 2 ·5

Z 1,2 =i

Ответ: Z 1,2 =i , Z 3,4 =

Пример 9:

Z 2 = 24 10· i

Пусть Z = X + Y· i

(X + Y· i ) 2 = X 2 + 2· X· Y· i  Y 2

X 2 + 2· X· Y· i  Y 2 = 24 10· i

(X 2 Y 2) + 2· X· Y· i = 24 10· i

умножим на X 2 0

X 4 – 24· X 2 – 25 = 0

t 2 – 24· t – 25 = 0

t 1· t 2 = – 25

t 1 = 25 t 2 = – 1

X 2 = 25 X 2 = – 1 - нет решений

X 1 = 5 X 2 = – 5

Y 1 = – Y 2 =

Y 1 = – 1 Y 2 = 1

Z 1,2 =(5 – i )

Ответ: Z 1,2 =(5 – i )

ЗАДАЧИ:

(2 – Y) 2 + 3·(2 – Y)·Y + Y 2 = 6

4 – 4·Y + Y 2 + 6·Y – 3·Y 2 + Y 2 = 6

–Y 2 + 2Y – 2 = 0 / –1

Y 2 – 2Y + 2 = 0

Д = b 2 – 4·a·c = 4 – 8 = – 4

– 4 = – 1·4 = 4· i 2

Y 1,2 = = = 1 i

Y 1 = 1– i Y 2 = 1 + i

X 1 = 1 + i X 2 = 1– i

Ответ: {1 + i ; 1– i }

{1– i ; 1 + i }

Возведем в квадрат

§1. Комплексные числа

1°. Определение. Алгебраическая форма записи.

Определение 1 . Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел и , если для них определены понятие равенства, операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим аксиомам:

1) Два числа
и
равны тогда и только тогда, когда
,
, т.е.


,
.

2) Суммой комплексных чисел
и

и равное
, т.е.

+
=
.

3) Произведением комплексных чисел
и
называется число, обозначаемое
и равное , т.е.

∙=.

Множество комплексных чисел обозначаетсяC .

Формулы (2),(3) для чисел вида
принимают вид

откуда следует, что операции сложения и умножения для чисел вида
совпадают со сложением и умножением для вещественных чисел  комплексное число вида
отождествляется с вещественным числом .

Комплексное число
называется мнимой единицей и обозначается , т.е.
Тогда из (3) 

Из (2),(3)  что и значит

Выражение (4) называется алгебраической формой записи комплексного числа.

В алгебраической форме записи операции сложения и умножения принимают вид:

Комплексное число обозначают
, – вещественная часть, – мнимая часть, – чисто мнимое число. Обозначение:
,
.

Определение 2 . Комплексное число
называется сопряженным с комплексным числом
.

Свойства комплексного сопряжения.

2)
.

3) Если
, то
.

4)
.

5)
– вещественное число.

Доказательство проводится непосредственным вычислением.

Определение 3 . Число
называется модулем комплексного числа
и обозначается
.

Очевидно, что
, причем

. Также очевидны формулы:
и
.

2°. Свойства операций сложения и умножения.

1) Коммутативность:
,
.

2) Ассоциативность:,
.

3) Дистрибутивность: .

Доказательство 1) – 3) проводится непосредственными вычислениями на основе аналогичных свойств для вещественных чисел.

4)
,
.

5) , C ! , удовлетворяющее уравнению
. Такое

6) ,C , 0, ! :
. Такое находится умножением уравнения на

.

Пример. Представим комплексное число
в алгебраической форме. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Имеем:

3°. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Тогда
C можно поставить в соответствие точку на плоскости с координатами
.(см. рис. 1). Очевидно, что такое соответствие является взаимно однозначным. При этом действительные числа лежат на оси абсцисс, а чисто мнимые − на оси ординат. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью , а ось ординат − мнимой осью . Плоскость, на которой лежат комплексные числа, называется комплексной плоскостью .

Отметим, что и
симметричны относительно начала координат, а и симметричны относительно Ox.

Каждому комплексному числу (т.е. каждой точке на плоскости) можно поставить в соответствие вектор с началом в точке O и концом в точке
. Соответствие между векторами и комплексными числами является взаимно однозначным. Поэтому вектор, соответствующий комплексному числу , обозначается той же буквой

Длина вектора
соответствующего комплексному числу
, равна
, причем
,
.

С помощью векторной интерпретации можно видеть, что вектор
− сумма векторов и , а
− сумма векторов и
.(см. рис. 2). Поэтому справедливы неравенства: ,

Наряду с длиной вектора введем в рассмотрение угол между вектором и осью Ox, отсчитываемый от положительного направления оси Ox: если отсчет ведется против часовой стрелки, то знак величина угла рассматривается положительной, если по часовой стрелке – то отрицательной. Этот угол называется аргументом комплексного числа и обозначается
. Угол определяется не однозначно, а с точностью
… . Для
аргумент не определяется.

Формулы (6) задают так называемую тригонометрическую форму записи комплексного числа.

Из (5) следует, что если
и
то

,
.

Из (5)
что по и комплексное число определяется однозначно. Обратное неверно: а именно, по комплексному числу его модуль находится однозначно, а аргумент, в силу (7), − с точностью
. Также из (7) следует, что аргумент может быть найден как решение уравнения

Однако не все решения этого уравнения являются решениями (7).

Среди всех значений аргумента комплексного числа выбирается одно, которое называется главным значением аргумента и обозначается
. Обычно главное значение аргумента выбирается либо в интервале
, либо в интервале

В тригонометрической форме удобно производить операции умножения и деления.

Теорема 1. Модуль произведения комплексных чисел и равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов, т.е.

, а .

Аналогично

Доказательство. Пусть , . Тогда непосредственным умножением получаем:

Аналогично

.■

Следствие (формула Муавра). Для
справедлива формула Муавра

Пример. Пусть Найдем геометрическое местоположение точки
. Из теоремы 1 следует, что .

Поэтому для ее построение необходимо вначале построить точку , являющуюся инверсией относительно единичной окружности, а затем найти точку, симметричную ей относительно оси Ox.

Пусть
, т.е.
Комплексное число
обозначается
, т.е. R справедлива формула Эйлера

Так как
, то
,
. Из теоремы 1
что с функцией
можно работать как с обычной показательной функцией, т.е. справедливы равенства

,
,
.

Из (8)
показательная форма записи комплексного числа

, где
,

Пример. .

4°. Корни -ой степени из комплексного числа.

Рассмотрим уравнение

,
С ,
N .

Пусть
, а решение уравнения (9) ищется в виде
. Тогда (9) принимает вид
, откуда находим, что
,
, т.е.

,
,
.

Таким образом, уравнение (9) имеет корни

,
.

Покажем, что среди (10) имеется ровно различных корней. Действительно,

различны, т.к. их аргументы различны и отличаются меньше, чем на
. Далее,
, т.к.
. Аналогично
.

Таким образом, уравнение (9) при
имеет ровно корней
, расположенных в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в т. O.

Таким образом, доказана

Теорема 2. Извлечение корня -ой степени из комплексного числа
всегда возможно. Все значения корня -ой степени из расположены в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность с центром в нуле и радиуса
. При этом,

Следствие. Корни –ой степени из 1 выражаются формулой

Произведение двух корней из 1 является корнем, 1 – корень -ой степени из единицы, корня
:
.

При изучении свойств квадратного уравнения ставилось ограничение - для дискриминанта меньше нуля решения не существует. Сразу оговаривалось, что речь идет о множестве вещественных чисел. Пытливый ум математика заинтересуется - какой секрет содержится в оговорке о вещественных значениях?

Со временем математики ввели понятие комплексных чисел, где за единицу принимается условное значение корня второй степени из минус единицы.

Историческая справка

Математическая теория развивается последовательно, от простого к сложному. Разберемся, как возникло понятие, получившее название "комплексное число", и зачем оно нужно.

С незапамятных времен основу математики составлял обычный счет. Исследователям было известно только натуральное множество значений. Сложение и вычитание при этом производилось просто. По мере усложнения хозяйственных отношений вместо сложения одинаковых значений начали применять умножение. Появилась обратная операция к умножению - деление.

Понятие натурального числа ограничивало использование арифметических операций. На множестве целых значений невозможно решать все задачи деления. привела сначала к понятию рациональных значений, а потом и к иррациональным значениям. Если для рационального можно указать точное расположение точки на линии, то для иррациональных такую точку указать невозможно. Можно только приблизительно указать интервал нахождения. Объединение рациональных и иррациональных числе образовали вещественное множество, которое можно представить как некоторую линию с заданным масштабом. Каждый шаг по линии - это натуральное число, а между ними располагаются рациональные и иррациональные значения.

Началась эпоха теоретической математики. Развитие астрономии, механики, физики требовало решения все более сложных уравнений. В общем виде были найдены корни квадратного уравнения. При решении более сложного кубического многочлена ученые столкнулись с противоречием. Понятие кубического корня из отрицательного имеет смысл, а для квадратного получается неопределенность. При этом квадратное уравнение - только частный случай кубического.

В 1545 году итальянец Дж. Кардано предложил ввести понятие мнимого числа.

Таким числом стал корень второй степени из минус единицы. Окончательно термин комплексного числа сформировался только через триста лет, в работах известного математика Гаусса. Он предложил формально распространить на мнимое число все законы алгебры. Вещественная прямая расширилась до плоскости. Мир стал больше.

Основные понятия

Вспомним ряд функций, которые имеют ограничения на вещественном множестве:

y = arcsin(x), определена в интервале значений между отрицательной и положительной единицей.
y = ln(x), имеет смысл при положительных аргументах.
квадратный корень y = √x, рассчитывается только для x ≥ 0.

Обозначением i = √(-1), введем такое понятие, как мнимое число, это позволит снять все ограничения с области определения вышеприведенных функций. Выражения типа y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) приобретают смысл в некотором пространстве комплексных чисел.

Алгебраическую форму можно записать в виде выражения z = x + i×y на множестве вещественных значений x и y, а i 2 = -1.

Новое понятие снимает все ограничения на использование любой алгебраической функции и своим видом напоминает график прямой в координатах вещественных и мнимых значений.

Комплексная плоскость

Геометрическая форма комплексных чисел наглядно позволяет представить многие их свойства. По оси Re(z) отмечаем вещественные значения x, по Im(z) - мнимые величины y, тогда точка z на плоскости будет отображать требуемое комплексное значение.

Определения:

Re(z) - реальная ось.
Im(z) - означает мнимую ось.
z - условная точка комплексного числа.
Численное значение длины вектора от нулевой точки до z, называется модулем.
Реальная и мнимая оси разбивают плоскость на четверти. При положительном значении координат - I четверть. При аргументе реальной оси меньше 0, а мнимой больше 0 - II четверть. Когда координаты отрицательные - III четверть. Последняя, IV четверть содержит множество положительных реальных значений и отрицательных мнимых величин.

Таким образом на плоскости со значениями координат x и y всегда можно наглядно изобразить точку комплексного числа. Символ i вводится для отделения реальной части от мнимой.

Свойства

При нулевом значении мнимого аргумента получаем просто число (z = x), которое располагается на реальной оси и принадлежит вещественному множеству.
Особый случай, когда значение реального аргумента становится нулевым, выражение z = i×y соответствует расположению точки на мнимой оси.
Общий вид z = x + i×y будет при ненулевых значениях аргументов. Означает расположение точки, характеризующей комплексное число, в одной из четвертей.

Тригонометрическая запись

Вспомним полярную систему координат и определение sin и cos. Очевидно, что с помощью этих функций можно описать расположение любой точки на плоскости. Для этого достаточно знать длину полярного луча и угол наклона к вещественной оси.

Определение. Запись вида ∣z ∣, умноженное на сумму тригонометрических функций cos(ϴ) и мнимой части i ×sin(ϴ), называется тригонометрическим комплексным числом. Здесь применяется обозначение угол наклона к вещественной оси

ϴ = arg(z), а r = ∣z∣, длина луча.

Из определения и свойств тригонометрических функций, следует очень важная формула Муавра:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Используя эту формулу, удобно решать многие системы уравнений, содержащие тригонометрические функции. Особенно когда возникает задача возведения в степень.

Модуль и фаза

Для завершения описания комплексного множества предложим два важных определения.

Зная теорему Пифагора, легко вычислить длину луча в полярной системе координат.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), такая запись на комплексном пространстве носит название "модуль" и характеризует расстояние от 0 до точки на плоскости.

Угол наклона комплексного луча к вещественной прямой ϴ принято называть фазой.

Из определения видно, что реальная и мнимая части описываются с помощью циклических функций. А именно:

x = r × cos(ϴ);
y = r × sin(ϴ);

Обратно, фаза имеет связь с алгебраическими значениями через формулу:

ϴ = arctan(x / y) + µ, поправка µ вводится для учета периодичности геометрических функций.

Формула Эйлера

Математики часто употребляют показательную форму. Числа комплексной плоскости записывают в виде выражения

z = r × e i × ϴ , которая вытекает из формулы Эйлера.

Такая запись получила широкое распространение для практического вычисления физических величин. Форма представления в виде показательных комплексных чисел особенно удобна для инженерных расчетов, где возникает необходимость рассчитать цепи с синусоидальными токами и необходимо знать значение интегралов функций с заданным периодом. Сами расчеты служат инструментом при конструировании различных машин и механизмов.

Определение операций

Как уже отмечалось, на комплексные числа распространяются все алгебраические законы работы с основными математическими функциями.

Операция суммы

При сложении комплексных значений их реальная и мнимая части также складываются.

z = z 1 + z 2 , где z 1 и z 2 - комплексные числа общего вида. Преобразуя выражение, после раскрытия скобок и упрощения записи, получим реальный аргумент х=(x 1 + x 2), мнимый аргумент y = (y 1 + y 2).

На графике это выглядит как сложение двух векторов, по известному правилу параллелограмма.

Операция вычитания

Рассматривается как частный случай сложения, когда одно число положительное, другое отрицательное, то есть находящееся в зеркальной четверти. Алгебраическая запись выглядит как разность реальных и мнимых частей.

z = z 1 - z 2 , или, учитывая значения аргументов, аналогично операции сложения, получаем для реальных значений х = (x 1 - x 2) и мнимых y = (y 1 - y 2).

Умножение на комплексной плоскости

Используя правила работы с многочленами, выведем формулу для решения комплексных чисел.

Следуя общим алгебраическим правилам z=z 1 ×z 2 , расписываем каждый аргумент и приводим подобные. Реальную и мнимую части можно записать так:

х = х 1 × x 2 - y 1 × y 2 ,
y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Красивее смотрится, если будем использовать показательные комплексные числа.

Выражение выглядит так: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Деление

При рассмотрении операции деления, как обратной к операции умножения, в показательной форме записи получаем простое выражение. Деление значения z 1 на z 2 есть результат деления их модулей и разности фаз. Формально, при использовании показательной формы комплексных чисел это выглядит так:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

В виде алгебраической записи операция деления чисел комплексной плоскости записывается немного сложнее:

Расписывая аргументы и проводя преобразования многочленов, легко получить значения х = x 1 × x 2 + y 1 × y 2 , соответственно y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 , правда, в рамках описываемого пространства это выражение имеет смысл, если z 2 ≠ 0.

Извлекаем корень

Все вышеописанное можно применять при определении более сложных алгебраических функций - возведение в любую степень и обратную к ней - извлечение корня.

Пользуясь общим понятием возведения в степень n, получаем определение:

z n = (r × e i ϴ) n .

Используя общие свойства, перепишем в виде:

z n = r n × e i ϴ n .

Получили простую формулу возведения в степень комплексного числа.

Из определения степени получаем очень важное следствие. Четная степень мнимой единицы всегда равна 1. Любая нечетная степень мнимой единицы всегда равно -1.

Теперь изучим обратную функцию - извлечение корня.

Для простоты записи примем n = 2. Квадратным корнем w комплексного значения z на комплексной плоскости C принято считать выражение z = ±, справедливое для любого вещественного аргумента большего или равного нулю. При w ≤ 0 решения не существует.

Посмотрим на самое простое квадратное уравнение z 2 = 1. Используя формулы комплексных чисел, перепишем r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 . Из записи видно, что r 2 = 1 и ϴ = 0, следовательно, имеем единственное решение, равное 1. Но это противоречит понятию, что z = -1, тоже соответствует определению квадратного корня.

Разберемся, что мы не учитываем. Если вспомним тригонометрическую запись, то восстановим утверждение - при периодическом изменении фазы ϴ комплексное число не меняется. Обозначим символом p значение периода, тогда справедлива запись r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p) , откуда 2ϴ = 0 + p, или ϴ = p / 2. Следовательно, справедливо e i 0 = 1 и e i p /2 = -1. Получили второе решение, что соответствует общему пониманию квадратного корня.

Итак, чтобы найти произвольный корень из комплексного числа, будем действовать по процедуре.

Запишем показательную форму w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) , k - произвольное целое число.
Искомое число тоже представим по форме Эйлера z = r × e i ϴ .
Воспользуемся общим определением функции извлечения корня r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
Из общих свойств равенства модулей и аргументов, запишем r n = ∣w∣ и nϴ = arg (w) + p×k.
Итоговая запись корня из комплексного числа описывается формулой z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n .
Замечание. Значение ∣w∣, по определению, является положительным вещественным числом, значит, корень любой степени имеет смысл.

Поле и сопряжение

В завершение дадим два важных определения, которые оказывают мало значения для решения прикладных задач с комплексными числами, но существенны при дальнейшем развитии математической теории.

Говорят, что выражения сложения и умножения образуют поле, если удовлетворяют аксиомам для любых элементов комплексной плоскости z:

От перемены мест комплексных слагаемых комплексная сумма не меняется.
Верно утверждение - в сложном выражении любую сумму двух чисел можно заменить на их значение.
Существует нейтральное значение 0, для которого верно z + 0 = 0 + z = z.
Для любого z существует противоположность - z, сложение с которым дает ноль.
При перемене мест комплексных множителей комплексное произведение не меняется.
Умножение двух любых чисел можно заменить на их значение.
Существует нейтральное значение 1, умножение на которое не меняет комплексное число.
Для каждого z ≠ 0, есть обратное значение z -1 , умножение на которое дает в результате 1.
Умножение суммы двух чисел на третье равносильно операции умножение каждого их них на это число и сложение результатов.
0 ≠ 1.

Числа z 1 = x + i×y и z 2 = x - i×y называются сопряженными.

Теорема. Для сопряжения верно утверждение:

Сопряжение суммы равно сумме сопряженных элементов.
Сопряжение произведения равно произведению сопряжений.
равно самому числу.

В общей алгебре такие свойства принято называть автоморфизмом поля.

Примеры

Следуя приведенным правилам и формулам комплексных чисел, легко можно ими оперировать.

Рассмотрим простейшие примеры.

Задача 1. Используя равенство 3y +5 x i= 15 - 7i, определить x и y.

Решение. Вспомним определение комплексных равенств, тогда 3y = 15, 5x = -7. Следовательно, x = -7 / 5, y = 5.

Задача 2. Вычислить значения 2 + i 28 и 1 + i 135 .

Решение. Очевидно, 28 - четное число, из следствия определения комплексного числа в степени имеем i 28 = 1, значит, выражение 2 + i 28 = 3. Второе значение, i 135 = -1, тогда 1 + i 135 = 0.

Задача 3. Вычислить произведение значений 2 + 5i и 4 + 3i.

Решение. Из общих свойств умножения комплексных чисел получаем (2 + 5i)Х(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Новое значение будет -7 + 26i.

Задача 4. Вычислить корни уравнения z 3 = -i.

Решение. Вариантов, как найти комплексное число, может быть несколько. Рассмотрим один из возможных. По определению, ∣ - i∣ = 1, фаза для -i равна -р / 4. Исходное уравнение можем переписать в виде r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk , откуда z = e - p / 12 + pk/3 , для любого целого k.

Множество решений имеет вид (e - ip/12 , e ip /4 , e i 2 p/3).

Зачем нужны комплексные числа

История знает множество примеров, когда ученые, работая над теорией, даже не задумываются о практическом применении своих результатов. Математика - это прежде всего игра ума, жесткое следование причинно-следственным связям. Почти все математические построения сводятся к решению интегральных и дифференциальных уравнений, а те, в свою очередь, с некоторым приближением, решаются нахождением корней многочленов. Здесь мы впервые встречаемся с парадоксом мнимых чисел.

Ученые естествоиспытатели, решая совершенно практические задачи, прибегая к решениям различных уравнением, обнаруживают математические парадоксы. Интерпретация этих парадоксов приводит к совершенно удивительным открытиям. Двойственная природа электромагнитных волн один из таких примеров. Комплексные числа в понимании их свойств играют решающую роль.

Это, в свою очередь, нашло практическое применение в оптике, радиоэлектронике, энергетике и многих других технологических сферах. Еще один пример, гораздо более тяжелый для понимания физических явлений. Антиматерия была предсказана на кончике пера. И только через много лет начинаются попытки ее физического синтезирования.

Не надо думать, что только в физике существуют такие ситуации. Не менее интересные открытия совершаются в живой природе, при синтезировании макромолекул, во время изучения искусственного разума. И все это благодаря расширению нашего сознания, уходу от простого сложения и вычитания натуральных величин.

Напомним необходимые сведения о комплексных числах.

Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

(Например, .)

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a ; b ) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a ; b ) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z . Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ ; r · sin φ ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z | · (cos(Arg z ) + i sin(Arg z )). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · |z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра : z n = |z | n · (cos(n · (Arg z )) + i sin(n · (Arg z ))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z - это такое комплексное число w , что w n = z . Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n -й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n -угольника).