Старинные способы умножения. Почему азиатские школьники преуспевают в математике: секреты обучения Как японские дети учатся умножать

Правообладатель иллюстрации Getty Images Image caption Не заболела бы голова...

"Математика такая трудная..." Вы наверняка не раз слышали эту фразу, а, может быть, даже сами ее произносили вслух.

Для многих математические вычисления - дело непростое, но вот вам три несложных способа, которые помогут выполнить хотя бы одно арифметическое действие - умножение. Без калькулятора.

Вполне вероятно, что в школе вы познакомились с наиболее традиционным способом умножения: сначала вы выучили на память таблицу умножения, а уж затем стали в столбик перемножать каждую из цифр, которыми записываются многозначные числа.

Если вам надо перемножить многозначные числа, то, чтобы найти ответ, потребуется большой лист бумаги.

Но если от этого длинного набора идущих одна под другой строчек с цифрами у вас голова идет кругом, то есть и другие, более наглядные методы, которые могут вам помочь в этом деле.

Но тут пригодятся некоторые художественные навыки.

Давайте порисуем!

Как минимум три способа умножения связаны с рисованием пересекающихся линий.

1. Способ индейцев майя , или японский метод

Относительно происхождения этого способа существует несколько версий.

Трудно умножать в уме? Попробуйте метод майя и японцев

Некоторые говорят, что его придумали индейцы цивилизации майя, населявшие районы Центральной Америки до прибытия туда конкистадоров в XVI веке. Он также известен как японский метод умножения, поскольку учителя в Японии используют именно этот визуальный способ, когда учат младших школьников умножению.

Суть в том, что параллельные и перпендикулярные линии представляют цифры тех чисел, которые нужно перемножить.

Давайте умножим 23 на 41.

Для этого нам надо нарисовать две параллельные линии, представляющие 2, и, немного отступя, еще три линии, представляющие 3.

Затем, перпендикулярно к этим линиям мы нарисуем четыре параллельные линии, представляющие 4 и, чуть отступя, еще одну линию для 1.

Ну как, неужели трудно?

2. Индийский способ , или итальянское умножение "решеткой" - "джелозия"

Происхождение этого способа умножения тоже не ясно, однако он хорошо известен по всей Азии.

"Алгоритм "джелозия" передавался из Индии в Китай, затем в Аравию, а оттуда в Италию в XIV-XV веках, где он получил название "джелозия", поскольку внешне был похож на венецианские решетчатые ставни", - пишет Марио Роберто Каналес Виллануэва в своей книге, посвященной различным способам умножения.

Правообладатель иллюстрации Getty Images Image caption Индийская или итальянская система умножения похожа на венецианские жалюзи

Давайте снова возьмем пример с умножением 23 на 41.

Теперь нам потребуется начертить таблицу из четырех клеток - по клетке на цифру. Подпишем сверху у каждой клетки соответствующую цифру - 2,3,4,1.

Затем надо разделить каждую клетку надвое по диагонали, чтобы получились треугольники.

Теперь мы сначала умножим первые цифры каждого числа, то есть 2 на 4, и запишем в первом треугольнике 0, а во втором 8.

Потом перемножим 3x4 и запишем 1 в первом треугольнике, а 2 во втором.

Проделаем то же самое и с другими двумя цифрами.

Когда все клетки нашей таблицы будут заполнены, мы складываем цифры в такой последовательности, как показано на видео, и записываем получившийся результат.

Media playback is unsupported on your device

Трудно умножать в уме? Попробуйте индийский метод

Первая цифра у нас будет 0, вторая 9, третья 4, четвертая 3. Таким образом, результат получился: 943.

Как вам показалось, проще этот способ или нет?

Давайте попробуем еще один метод умножения с помощью рисунка.

3. "Массив" , или метод таблицы

Как и в предыдущем случае, для этого потребуется нарисовать таблицу.

Возьмем тот же пример: 23 x 41.

Тут нам надо разделить наши числа на десятки и единицы, поэтому 23 мы запишем как 20 в одной колонке, и 3 в другой.

По вертикали мы запишем наверху 40, а внизу 1 .

Затем мы перемножим числа по горизонтали и вертикали.

Media playback is unsupported on your device

Трудно умножать в уме? Нарисуйте таблицу.

Но вместо того чтобы умножать 20 на 40, мы отбросим нули и просто перемножим 2 x 4, получив 8.

То же самое сделаем, умножая 3 на 40. Мы удерживаем в скобках 0 и умножаем 3 на 4 и получаем 12.

Проделаем то же самое с нижним рядом.

Теперь добавим нули: в левой верхней клетке у нас получилось 8, но мы отбросили два нуля - теперь мы их допишем и получится 800.

В правой верхней клетке, когда мы умножали 3 на 4(0), у нас получилось 12; теперь мы допишем ноль и получим 120.

Сделаем так же со всеми прочими удержанными нулями.

И наконец, мы складываем все четыре числа, полученных умножением в таблице.

Результат? 943. Ну как, помогло?

Важно разнообразие

Правообладатель иллюстрации Getty Images Image caption Все способы хороши, главное - чтобы ответ сошелся

Что точно можно утверждать, - так это то, что все эти разные способы дали нам один и тот же результат!

Нам все-таки пришлось кое-что перемножить в процессе, но каждый шаг был проще, чем при умножении традиционным способом, и гораздо более наглядный.

Так почему же мало где в мире в обычных школах учат этим методам вычисления?

Одной из причин может быть упор на обучение "вычислениям в уме" - чтобы развивать умственные способности.

Однако Дэвид Уиз, учитель математики из Канады, работающий в государственных школах в Нью-Йорке, объясняет это иначе.

"Недавно я прочитал, что причина, по которой используется традиционный метод умножения, - это экономия бумаги и чернил. Этот метод не был придуман как самый простой для использования, но как самый экономный с точки зрения ресурсов, поскольку чернила и бумага были в дефиците", - объясняет Уиз.

Правообладатель иллюстрации Getty Images Image caption Для некоторых методов вычисления только головы недостаточно, нужны еще и фломастеры

Невзирая на это, он полагает, что альтернативные методы умножения очень полезны.

"Я не думаю, что это полезно - сразу учить школьников умножению, заставляя их выучивать таблицу умножения, но не объясняя им при этом, откуда она взялась. Поскольку если они забудут одно число, то как они смогут продвинуться в решении задачи? Метод майя или японский метод необходим, потому что с его помощью вы можете понять общую структуру умножения, а это хорошее начало", - полагает Уиз.

Существует и ряд других способов умножения, например, русский или египетский, они не требуют дополнительных навыков рисования.

Как говорят специалисты, с которыми мы беседовали, все эти методы помогают лучше понять процесс умножения.

"Понятно, что все идет на пользу. Математика в сегодняшнем мире открыта как внутри, так и снаружи классной комнаты", - резюмирует Андреа Васкес, учительница математики из Аргентины.

Что такое ментальная арифметика и почему она нужна каждому человеку.

Ментальная арифметика - это программа комплексного развития интеллекта и мышления детей, основанная на формировании навыка быстрого устного счета

На занятиях дети учатся быстрому счету с помощью специальной счетной доски (абакус, соробан). Педагоги объясняют, как правильно перебирать костяшки на спицах, чтобы малыши могли почти мгновенно получить ответ на сложный пример. Постепенно привязка к счетам ослабевает и дети представляют те действия, что совершали со счетами, в уме.

Программа рассчитана на 2-2,5 года. Сначала ребята осваивают сложение и вычитание, затем - умножение и деление. Навык приобретается и развивается за счет многократного повторения одних и тех же действий. Методика подходит практически всем детям, принцип обучения - от простого к сложному.

Занятия проходят один-два раза в неделю и длятся один-два часа.

Древние счеты абакус, на которых считают дети, известны уже более 2,5 тысяч лет

В Японии счет на абакусе включен в официальную школьную программу

Вот уже более 50 лет ментальная арифметика входит в систему государственного образования в Японии. Интересно, что после окончания школы люди продолжают совершенствовать свои навыки в устном счете. В Стране восходящего солнца ментальную арифметику считают чем-то вроде спорта. По ней даже проводят соревнования. В России теперь тоже ежегодно проводятся международные турниры по Ментальной арифметике.

Ментальная арифметика развивает механическую и фотографическую память

Когда дети считают, они задействуют сразу оба полушария мозга. Ментальная арифметика развивает фотографическую и механическую память, воображение, наблюдательность, улучшает концентрацию внимания.

Повышается общий уровень интеллекта. Это значит, что ребятам легче усваивать большие объемы информации в сжатые сроки. Сразу видны успехи в иностранных языках. На заучивание стихов и прозы теперь не надо тратить весь день.

У школьников более медлительных ускоряется быстрота реакции. Они начинают не просто молниеносно считать, но быстрее думать и принимать решения, не связанные с арифметикой.

Бывают и неожиданные результаты. Как-то в центр пришел мальчик, который занимался теннисом. Мама рассказала, что у ее сына проблемы с координацией движений. Неожиданно их удалось решить именно за счет интенсивов по ментальной арифметике.

Взрослым ментальная арифметика дается сложнее, оптимальный возраст для начала занятий - 5-14 лет

Развивать мозг с помощью ментальной арифметики можно в любом возрасте, но наилучших результатов можно добиться до 12–14 лет. Детский мозг очень пластичен, подвижен. В юном возрасте в нем наиболее активно формируются нейронные связи, поэтому наша программа дается легче ребятам до 14 лет.

Чем старше человек, тем сложнее ему абстрагироваться от своего опыта и знаний и просто доверять абакусу. Я осваивала эту методику в 45 лет и постоянно сомневалась, правильно ли у меня получается, нет ли ошибки. Это очень мешает обучению.

Но чем труднее человеку осваивать этот счет, тем больше от него пользы. Человек как бы преодолевает себя, с каждым разом у него получается все лучше и лучше. Занятия не проходят даром, мозг взрослого человека также активно развивается.

Только не стоит ожидать от взрослого таких же результатов, как от ребенка. Мы можем научиться методике, но посчитать так же быстро, как это делает второклассник, уже не получится. Как показывает опыт, оптимальный возраст, с которого лучше начинать занятия - 6 и 7 лет.

Лучших результатов добивается тот, кто регулярно занимается дома

Обязательное условие занятий - ежедневные тренировки на абакусе. Всего 10-15 минут. Детям необходимо отрабатывать формулу, которую им дал на уроке преподаватель, и доводить свои действия до автоматизма. Только в этом случае ребенок научится считать быстро. Здесь важна организационная роль родителей, которым нужно следить за регулярными тренировками.

Дети не устают на занятиях за счет постоянной смены видов деятельности

Основной вид деятельности на ментальной арифметике - счет на абакусе. Дети считают разными способами: на слух, в рабочих тетрадях, у школьной доски на демонстрационном абакусе, используя электронный тренажер «Веселый соробан», на ментальной карте (это графическое изображение абакуса, с помощью которого дети представляют, как передвигают косточки на счетах).

Математика — непростой предмет, который дается не всем детям. Очень часто бывает так, что ребенок из всех сил старается научиться решать примеры и задачи, но у него ничего не выходит. Иногда на помощь приходят родители или репетиторы, а иногда и они с трудом могут помочь.

Японцы еще 60 лет назад придумали, как решить эту проблему. Они авторы уникальной методики обучения Kumon goo.gl/ABTHNH, которая помогает миллионам детей во всем мире освоить этот непростой предмет.

Сегодня по тетрадям Kumon занимаются более 4 миллионов детей в 47 странах мира. Примерно 3 года назад они появились и в России, вышли в издательстве «Манн, Иванов и Фербер». За это время тетради успели полюбить дети и родители, оценили педагоги. Несомненный плюс этих пособий в том, что они адаптированы к российскому восприятию. В них симпатичные иллюстрации, простые инструкции для детей и полезные советы для родителей.

Сегодня тетради обучают детей от 2 до 17 лет самым разным навыкам, не только математическим.

Сама же методика началась именно с тетрадей по математике. В 1954 году японский учитель математики Тору Кумон решил помочь сыну, у которого были двойки по арифметике. Он придумал для него серию постепенно усложняющихся заданий, которые нужно было выполнять каждый день. Мальчик усердно занимался и вскоре стал отличником. Когда родители одноклассников Такеши узнали о его успехах, они попросили Тору Кумона позаниматься и с их детьми.

Так родилась знаменитая методика. А вскоре центры Kumon стали открываться по всему миру.

Математическая серия тетрадей, вышедшая в России, включает в себя 6 уровней сложности. И помогает полностью освоить все математические навыки, которые дети изучают в начальной и первых классах средней школы.

Вот список этих навыков:

• сложение и вычитание однозначных и двузначных чисел (уровень 1);
• сложение и вычитание двух- и трехзначных чисел в столбик (уровень 2);
• сложение и вычитание многозначных чисел, умножение чисел в пределах 10 х 9, деление с остатком и без него (уровень 3);
• умножение и деление многозначных чисел в столбик, сложение и вычитание обыкновенных и десятичных дробей (уровень 4);
• умножение и деление десятичных дробей в столбик, сложение и вычитание неправильных дробей (уровень 5);
• сложение, вычитание, умножение и деление дробей с разными знаменателями (уровень 6).

Кроме того, японская методика способна творить чудеса: она помогает абсолютно всем детям в освоении математики. Секрет ее успеха в простых принципах, которые применял еще Тору Кумон:

1. Обучение нужно выстраивать по принципу от простого к сложному.
2. Во время занятий обязательно хвалите детей даже за самые маленькие достижения.
3. Чтобы добиться результатов, достаточно заниматься по 20 минут в день.
4. Занятия не должны быть тяжелыми и утомительными для ребенка. Их следует выстраивать по принципу игры.
5. Позволяйте детям быть самостоятельными, не исправляйте их. Ошибки — путь к успеху.
6. Основывайте занятия на индивидуальном подходе. Подбирайте задания по способностям ребенка, а не по возрасту или классу.

Все эти принципы помогают ребятам во всем мире успешно учиться и добивать результатов в освоении математики. Если вы хотите подарить вашим детям радость познания и желание учиться, познакомьте их с тетрадями Kumon goo.gl/uw4Eyz.

Долгое время страны Азии, в частности Сингапур и Япония, возглавляют списки результатов тестирования Международной программы по оценке образовательных достижений учащихся (PISA). В чем секрет их математических успехов? Математическими гениями рождаются или становятся? Чтобы разобраться в вопросах, рассмотрим подходы к обучению математике в азиатских странах.

Как преподают математику в Японии

В возрасте 7-8 лет японские дети начинают изучать рифмованную таблицу умножения под названием куку (kuku), «ку» по‑японски означает «девять». Японские дети учат таблицу наизусть, а затем рассказывают её на скорость в школе и дома. Существуют даже специальные соревнования второклассников на скорость воспроизведения таблицы. Ради победы школьники вынуждены долго и усердно тренироваться с секундомером.

Также многие японские дети посещают внеклассные математические занятия. В Японии существует более 20 тысяч частных математических образовательных организаций. Заниматься в них могут школьники любого возраста: как первоклассники, так и ученики старшей школы. Многие из них обучаются системе быстрого счёта с помощью ментальной арифметики .

Дополнительные занятия занимают один‑два часа и проходят два, а в некоторых случаях и четыре раза в неделю. На них дети сначала учатся решать примеры с помощью счётной доски - абакуса, а затем переходят на следующий уровень, на котором начинают считать в уме.

На таких уроках детям выдают листы с распечатанными на них примерами, их задача - потратить на решение как можно меньше времени. И это в дополнение к четырём школьным урокам математики (по 45 минут каждый) в неделю.

После пары лет обучения ментальной арифметике, японские дети умножают семи- и восьмизначные числа в уме быстрее, чем ребёнок из любой другой части света ответит, сколько будет семью восемь.

Жажда победы

Японским детям очень нравится счёт на скорость. Многие считают его новым видом спорта и участвуют в городских, региональных соревнованиях и на первенствах страны.

Такой подход значительно отличается от общепринятого, который призывает всячески ограждать детей от конкуренции. Однако многие забывают, что излишняя опека для детей не менее вредна. Ведь в таком случае дети не познают радости побед, которые они одержали благодаря собственным усилиям.

Перестав оценивать детей, можно лишить их мотивации к дальнейшему развитию.

Страсть и талант

Никто не рождается гением математики. Исследования показывают, что для того, чтобы стать экспертом в новой области, требуется 10 тысяч часов практики. Если вы хотите добиться успехов в математике, будьте готовы к тому, что на это уйдет много времени и сил.

Если мы посмотрим на математические состязания, в которых участвуют японцы, начиная со скоростного пересказа таблицы умножения в младшей школе и заканчивая более сложными арифметическими вычислениями в уме в старших классах, то становится очевидно - именно дух соревновательности поддерживает в японцах любовь к математике.

Язык

Пытаясь разобраться в причинах успеха жителей Китая в математике Малкольм Гладуэлл в книге «Гении и аутсайдеры: почему одним всё, а другим ничего?» делает особый акцент на языке. Название чисел на китайском короткие, их можно произнести очень быстро: 4 звучит как «си», 7 - «ки». Чем меньше слова - тем быстрее их можно запомнить. Автор показывает это на примере последовательности чисел 4, 8, 5, 3, 9, 7, 6, которую англоговорящий человек с первого раза запомнит на 50%, а китаец полностью. Секрет в том, что наша кратковременная память в среднем сохраняет цифры в отрезке не более 2 секунд - скорее всего, вы запомните то количество чисел, которое сможете произнести за это время.

Автор отмечает более логичное название сложных чисел в китайском, нежели в английском. То же можно сказать и про русский язык. Например, в слове шестнадцать - мы сначала используем производное от названия цифры «шесть», а затем обозначаем один десяток - «-надцать». В слове же шестьдесят один - мы действуем логичнее: сначала обозначаем количество десятков «шестьдесят», а затем указываем единицы - «один». В китайском, японском и корейском языках система называния чисел более логична: шестнадцать - произносятся как десять и шесть, шестьдесят один как шесть десятков один. Это даёт азиатским детям ряд преимуществ: они учатся считать быстрее, нежели европейские дети, и проще выполняют арифметические действия. Взрослым такие различия в названии чисел кажутся несущественными, но они значительны для детей.

Культура

Ещё один фактор, который помог китайцам преуспеть в математике, не связан напрямую с наукой - это культура выращивание риса.

Выращивание риса требовало больших трудов и 3000 часов работы в полях (европейские крестьяне в среднем работали 1200 часов в год). В отличие от европейских крестьян, китайцы выращивали и собирали урожай 2 раза в год и не имели продолжительного отдыха в течение зимы.

Малкольм Гладуэлл отмечает, что работа на рисовых полях была трудна и кропотлива, но выливалась в «содержательный труд». В отличие от европейский крестьян, китайские не были в полном рабстве у дворян и не отдавали им большую часть дохода. Землевладельцы устанавливали фиксированную арендную плату, урожай сверх которой каждая община могла забрать себе. Крестьяне знали: лучше поработаешь - больше получишь.

Трудолюбие китайцев отразилось во множестве пословиц, посвящённых труду, самая яркая: «Семья человека, который круглый год встаёт до зари, бедствовать не будет». При чём здесь математика? Эта наука как никакая другая требует настойчивости, упорства и готовности подолгу сидеть за каждой задачей.

Подведём итог: успех азиатских стран в математике связан с культом трудолюбия, языком, большим количеством школьных уроков и дополнительными занятиями

Не потеряйте. Подпишитесь и получите ссылку на статью себе на почту.

В России мы привыкли умножать числа традиционным способом, которому нас учили в школе, записывая числа-множители столбиком (). Однако в азиатских странах, таких как Япония и Китай принято считать иначе. Для созерцательного восточного менталитета важна непременная визуализация. Даже общепризнанные в мире арабские цифры китайцы и японцы записывают иероглифами. Именно с особенностью азиатской графической системы связан японский и китайский способ умножения чисел.

Это видео показывает, как умножать по-японски и по-китайски:

Многим покажется, что такой способ японского или китайского умножения слишком сложен и запутан, но это только на первый взгляд. Именно визуализация, то есть изображение всех точек пересечения прямых (множителей) на одной плоскости, дает нам зрительную поддержку, тогда как традиционный способ умножения подразумевает большое количество арифметических действий только в уме. Китайское или японское умножение помогает не только быстро и эффективно умножать двухзначные и трехзначные числа друг на друга без калькулятора, но и развивает эрудицию. Согласитесь, не каждый сможет похвастаться тем, что на практике владеет древнейшим китайским методом умножения (*), который актуален и прекрасно работает и в современном мире.

*) Японская или китайская таблица умножения? Археологами в Японии была найдена деревянная табличка с фрагментом таблицы умножения, которая предположительно была изготовлена в VIII веке. Учёные полагают, что подобные таблицы использовались японскими императорскими чиновниками, которым было необходимо осваивать разные науки, в том числе и арифметику.
Обнаруженная табличка — самая древняя из всех найденных в Японии ранее. Интересно, что иероглифы, которыми записаны цифры, по стилю графического начертания очень похожи на те, которые использовались как официальное письмо во времена китайской династии Тан VII-X века. Исходя из этого, ученые предположили, что таблица была скопирована из китайского учебника арифметики того времени, то есть вся японская таблица умножения была заимствована из Китая.

Именно к своим соседям в Китай ездили высокопоставленные японцы каждый год, чтобы перенять у них разные науки, такие как арифметику. Древняя китайская таблица умножения была не из простых, так как включала в себя умножение двузначных чисел друг на друга. Вряд ли все японские чиновники могли выучить такую таблицу наизусть, поэтому и носили с собой на работу что-то типа шпаргалок, фрагмент одной из которых и представляет собой найденная археологами в Японии табличка.

Итак, японская таблица умножения была заимствована у китайцев, которые, согласно некоторым гипотезам, и были одними из создателей первой арифметической системы, о чем свидетельствуют археологические находки, содержащие фрагменты таблицы умножения, возраст которых ученые оценили в 2700-3000 лет.