Уравнение на основании формулы эйнштейна. Уравнение эйнштейна для фотоэффекта

Трудности классического объяснения фотоэффекта

Как можно было бы объяснить фотоэффект с точки зрения классической электродинамики и волновых представлений о свете?

Известно, что для вырывания электрона из вещества требуется сообщить ему некоторую энергию A , называемую работой выхода электрона. В случае свободного электрона в металле это работа по преодолению поля положительных ионов кристаллической решетки, удерживающего электрон на границе металла. В случае электрона, находящегося в атоме, работа выхода есть работа по разрыву связи электрона с ядром.

В переменном электрическом поле световой волны электрон начинает совершать колебания.

А если энергия колебаний превысит работу выхода, то электрон будет вырван из вещества.

Однако в рамках таких представлений невозможно понять второй и третий законы фотоэффекта. Почему кинетическая энергия выбитых электронов не зависит от интенсивности излучения? Ведь чем больше интенсивность, тем больше напряженность электрического поля в электромагнитной волне, тем больше сила, действующая на электрон, тем больше энергия его колебаний и с тем большей кинетической энергией электрон вылетит из катода. Но эксперимент показывает иное.

Откуда берется красная граница фотоэффекта? чем «провинились» низкие частоты? Казалось бы, с ростом интенсивности света растет и сила, действующая на электроны; поэтому даже при низкой частоте света электрон рано или поздно будет вырван из вещества когда интенсивность достигнет достаточно большого значения. Однако красная граница ставит жесткий запрет на вылет электронов при низких частотах падающего излучения.

Кроме того, при освещении катода излучением сколь угодно слабой интенсивности (с частотой выше красной границы) фотоэффект начинается мгновенно в момент включения освещения. Между тем, электронам требуется некоторое время для «расшатывания» связей, удерживающих их в веществе, и это время «раскачки» должно быть тем больше, чем слабее падающий свет. Аналогия такая: чем слабее вы толкаете качели, тем дольше придется их раскачивать до заданной амплитуды. Выглядит опять-таки логично, но опыт единственный критерий истины в физике! этим доводам противоречит.

Так на рубеже XIX и XX столетий в физике возникла тупиковая ситуация: электродинамика, предсказавшая существование электромагнитных волн и великолепно работающая в диапазоне радиоволн, отказалась объяснять явление фотоэффекта.

Выход из этого тупика был найден Альбертом Эйнштейном в 1905 году. Он нашел простое уравнение, описывающее фотоэффект. Все три закона фотоэффекта оказались следствиями уравнения Эйнштейна.

Главная заслуга Эйнштейна состояла в отказе от попыток истолковать фотоэффект с позиций классической электродинамики. Эйнштейн привлек к делу смелую гипотезу о квантах, высказанную Максом Планком пятью годами ранее.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

Гипотеза Планка говорила о дискретности излучения и поглощения электромагнитных волн, то есть о прерывистом характере взаимодействия света с веществом. При этом Планк считал, что распространение света это непрерывный процесс, происходящий в полном соответствии с законами классической электродинамики.

Эйнштейн пошел еще дальше: он предположил, что свет в принципе обладает прерывистой структурой: не только излучение и поглощение, но также и распространение света происходит отдельными порциями квантами, обладающими энергией E = h ν .

Планк рассматривал свою гипотезу лишь как математический трюк и не решился опровергнуть электродинамику применительно к микромиру. Физической реальностью кванты стали благодаря Эйнштейну.

Кванты электромагнитного излучения (в частности, кванты света) стали впоследствии называться фотонами. Таким образом, свет состоит из особых частиц фотонов, движущихся в вакууме со скоростью c . Каждый фотон монохроматического света, имеющего частоту, несет энергию h ν .

Фотоны могут обмениваться энергией и импульсом с частицами вещества; в таком случае мы говорим о столкновении фотона и частицы. В частности, происходит столкновение фотонов с электронами металла катода.

Поглощение света это поглощение фотонов, то есть неупругое столкновение фотонов с частицами (атомами, электронами). Поглощаясь при столкновении с электроном, фотон передает ему свою энергию. В результате электрон получает кинетическую энергию мгновенно, а не постепенно, и именно этим объясняется безынерционность фотоэффекта.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта есть не что иное, как закон сохранения энергии. На что идет энергия фотона h ν при его неупругом столкновении с электроном? Она расходуется на совершение работы выхода A по извлечению электрона из вещества и на придание электрону кинетической энергии mv 2 /2: h ν = A + mv 2 /2 (4)

Слагаемое mv 2 /2 оказывается максимальной кинетической энергией фотоэлектронов. Почему максимальной? Этот вопрос требует небольшого пояснения.

Электроны в металле могут быть свободными и связанными. Свободные электроны «гуляют» по всему металлу, связанные электроны «сидят» внутри своих атомов. Кроме того, электрон может находиться как вблизи поверхности металла, так и в его глубине.

Ясно, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона получится в том случае, когда фотон попадет на свободный электрон в поверхностном слое металла тогда для выбивания электрона достаточно одной лишь работы выхода.

Во всех других случаях придется затрачивать дополнительную энергию на вырывание связанного электрона из атома или на «протаскивание» глубинного электрона к поверхности. Эти лишние затраты приведут к тому, что кинетическая энергия вылетевшего электрона окажется меньше.

Замечательное по простоте и физической ясности уравнение (4) содержит в себе всю теорию фотоэффекта:

1. число выбиваемых электронов пропорционально числу поглощенных фотонов. С увеличением интенсивности света количество фотонов, падающих на катод за секунду, возрастает. Стало быть, пропорционально возрастает число поглощенных фотонов и, соответственно, число выбитых за секунду электронов.

2. Выразим из формулы (4) кинетическую энергию: mv 2 /2 = h ν - A

Действительно, кинетическая энергия выбитых электронов линейно растет с частотой и не зависит от интенсивности света.

Зависимость кинетической энергии от частоты имеет вид уравнения прямой, проходящей через точку (A / h ; 0). Этим полностью объясняется ход графика на рис. 3.

3. Для того, чтобы начался фотоэффект, энергии фотона должно хватить как минимум на совершение работы выхода: h ν > A . Наименьшая частота ν 0 , определяемая равенством

h ν о = A ;

Как раз и будет красной границей фотоэффекта. Как видим, красная граница фотоэффекта ν 0 = A / h определяется только работой выхода, т. е. зависит лишь от вещества облучаемой поверхности катода.

Если ν < ν 0 , то фотоэффекта не будет сколько бы фотонов за секунду не падало на катод. Следовательно, интенсивность света роли не играет; главное хватает ли отдельному фотону энергии, чтобы выбить электрон.

Уравнение Эйнштейна (4) дает возможность экспериментального нахождения постоянной Планка. Для этого надо предварительно определить частоту излучения и работу выхода материала катода, а также измерить кинетическую энергию фотоэлектронов.

В ходе таких опытов было получено значение h , в точности совпадающее с (2). Такое совпадение результатов двух независимых экспериментов на основе спектров теплового излучения и уравнения Эйнштейна для фотоэффекта означало, что обнаружены совершенно новые «правила игры», по которым происходит взаимодействие света и вещества. В этой области классическая физика в лице механики Ньютона и электродинамики Максвелла уступает место квантовой физике теории микромира, построение которой продолжается и сегодня.

Если атомы подвергнуть облучению светом, то свет будет поглощаться атомами. Естественно допустить, что при определённых условиях поглощение будет столь велико, что внешние (валентные) будут отрываться от атомов. Это явление наблюдается в действительности. Классическая электродинамика, обычная волновая теория света не в состоянии дать удовлетворительное объяснение фотоэффекту. Эйнштейн выдвигает предположение, что свет сам по себе имеет корпускулярную природу, что имеет смысл смотреть на свет не как на поток волн, а как на поток частиц. Свет не только излучается, но и распространяется и поглощается в виде квантов! Эти кванты, или частицы, световой энергии Эйнштейн назвал фотонами.

Фотоны, падая на поверхность металла, проникают на очень короткое расстояние в металл и поглощаются нацело отдельными его электронами проводимости. Они сразу же увеличивают свою энергию до значения, достаточного, чтобы преодолеть потенциальный барьер вблизи поверхности металла, и вылетают наружу.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

У различных металлов красная граница фотоэффекта различна

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Для определения постоянной Планка была составлена цепь (рис. 1). Когда скользящий контакт потенциометра находится в крайнем левом положении, чувствительный амперметр при освещении фотоэлемента регистрирует слабый фототок. Передвигая скользящий контакт вправо, постепенно увеличивают запирающее напряжение до тех пор, пока в цепи прекратится фототок. При освещении фотоэлемента фиолетовым светом с частотой ТГц запирающее напряжение 2 В, а при освещении красным светом =390 TГц запирающее напряжение равно 0,5 В. Какое значение постоянной Планка было получено?
Решение	В качестве основы для решения задачи служит уравнение Эйнштейна: В том случае когда достигают напряжения при котором фототок прекращается отрицательная работа внешнего поля над электронами ровна электрона, то есть: Тогда уравнение Эйнштейна примет вид: Запишем это уравнение для двух состояний, описанных в условиях задачи: Вычтем первое уравнение из второго, получим: Дополним данные задачи табличным значением заряда электрона Кл Переведем данные в СИ: 750 TГц = Гц, 390 TГц = Гц Проведем расчёт
Ответ	Постоянная Планка равна Дж с.

ПРИМЕР 2

Задание

В вакуумном фотоэлементе, облучаемом светом с частотой , фотоэлектрон попадает в задерживающее электрическое поле. К электродам фотоэлемента приложено напряжение U, расстояние между электродами равно H, электрон вылетает под углом к плоскости катода. Как изменяется импульс и координаты электрона по сравнению с начальными в момент его возврата на катод? А- работа выхода.

Решение

При решении задачи используем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: Далее надо представить движение электрона. Допустим, что в области движения электрона электрическое поле однородно. Такое допущение можно сделать, если считать, что анод располагается сравнительно далеко от вершины траектории электрона. Найдем изменение электрона по возвращении на катод. Выполним построения рис. 2. Изменение импульса- основание треугольника с углом при вершине . Тогда ,

Исходя из гипотезы Планка о квантах, Эйнштейн в 1905 г. предло­жил квантовую теорию фотоэффекта. В отличие от Планка, который счи­тал, что свет излучается квантами, Эйнштейн предположил, что свет не только излучается, но и распространяется, и поглощается отдельными не­делимыми порциями - квантами Кванты представляют собой частицы с нулевой массой покоя, которые движутся в вакууме со скоростью м/с. Эти частицы получили название фотонов. Энергия квантов Е = hv.

По Эйнштейну, каждый квант поглощается только одним электро­ном. Поэтому число вырванных фотоэлектронов должно быть пропорцио­нально числу поглощенных фотонов, т.е. пропорционально интенсивности света.

Энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода (А) из металла и на сообщение вылетевшему фотоэлектро­ну кинетической энергии . По закону сохранения энергии

Уравнение (3)называется уравнением Эйнштейна для внешнего фо­тоэффекта. Оно имеет простой физический смысл: энергия светового кван­та расходуется на вырывание электрона из вещества и на сообщение ему кинетической энергии.

Уравнение Эйнштейна позволяет объяснить законы фотоэффекта. Из него следует, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона ли­нейно возрастает с увеличением частоты и не зависит от его интенсивно­сти (числа фотонов), так как ни А, ни ν от интенсивности света не зависят (1-й закон фотоэффекта). Выражая кинетическую энергию электрона через ра­боту задерживающего поля можно записать уравнение Эйнштейна в виде

Из уравнения (4) следует, что

Это соотношение совпадает с экспериментальной закономерностью, выраженной формулой (2).

Так как с уменьшением частоты света кинетическая энергия фото­электронов уменьшается (для данного металла А = const), то при некото­рой достаточно малой частоте кинетическая энергия фотоэлектронов станет равной нулю и фотоэффект прекратится (2-й закон фотоэффекта). Согласно изложенному, из (3) получим

Это и есть "красная граница"фотоэффекта для данного металла. Она зави­сит лишьот работы выхода электрона, т.е. от химической природы веще­ства и состояния его поверхности.

Выражение (3), используя (17) и (6), можно записать в виде

Так же естественно объясняется пропорциональность тока насыще­ния I Н мощности падающего света. С возрастанием общей мощности све­тового потока W возрастает число отдельных порций энергии hv, а следо­вательно, и число п вырываемых в единицу времени электронов. Так как I Н пропорционально п, то тем самым объясняется и пропорциональность тока насыщения I Н мощности света W.

Если интенсивность очень большая (лазерные пучки), то возможен многофотонный (нелинейный) фотоэффект, при котором фотоэлектрон од­новременно получает энергию не одного, а нескольких фотонов. Многофо­тонный фотоэффект описывается уравнением

где N - число вступивших в процесс фотонов. Соответственно "красная граница" многофотонного фотоэффекта

Следует отметить, что лишь малое число фотонов передает свою энергию электронам и участвует в фотоэффекте. Энергия большинства фо­тонов затрачивается на нагревание вещества, поглощающего свет. Применение фотоэффекта

На явлении фотоэффекта основано действие фотоэлектронных при­боров, которые получили широкое применение в различных областях нау­ки и техники. В настоящее время практически невозможно указать отрасли производства, где бы не использовались фотоэлементы - приемники излу­чения, работающие на основе фотоэффекта и преобразующие энергию из­лучения в электрическую.

Простейшим фотоэлементом с внешним фотоэффектом является ва­куумный фотоэлемент. Он представляет собой баллон, из которого выка­чан воздух, внутренняя поверхность (за исключением окошка для доступа излучения) покрыта фоточувствительным слоем и является фотокатодом. В качестве анода обычно используются кольцо (рис. 10) или сетка, поме­щаемые в центре баллона. Фотоэлемент включается в цепь батареи, ЭДС которой выбирается такой, чтобы обеспечить фототок насыщения.

Выбор материала фотокатода определяется рабочей областью спек­тра: для регистрации видимого света и инфракрасного излучения исполь­зуется кислородно-цезиевый катод, для регистрации ультрафиолетового излучения и коротковолновой части видимого света - сурьмяно-цезиевый. Вакуумные фотоэлементы безынерционны, и для них наблюдается строгая пропорциональность фототока интенсивности излучения. Эти свойства по­зволяют использовать вакуумные фотоэлементы в качестве фотометриче­ских приборов, например, экспонометров и люксметров для измерения ос­вещенности. Для увеличения интегральной чувствительности вакуумных фотоэлементов баллон заполняют инертным газом Аr или Nе при давлении 1,3 ÷ 13 Па). Фототок в таком газонаполненном элементе усиливается вследствие ударной ионизации молекул газа фотоэлектронами. Самые разные объективные оптические измерения немыслимы в наше время без применения фотоэлементов. Современная фотометрия, спектроскопия и спектрофотометрия, спектральный анализ вещества проводятся с примене­нием фотоэлементов. Широко используются фотоэлементы в технике: кон­троль, управление, автоматизация производственных процессов, в военной технике для сигнализации и локации невидимым излучением, в звуковом кино, в разнообразных системах связи от передачи изображения и телеви­дения до оптической связи на лазерах и космической техники представля­ют собой далеко не полный перечень областей применения фотоэлементов для решения разнообразных технических вопросов в современной про­мышленности и связи.

Десять лет понадобилось Эйнштейну чтобы обобщить специальную теорию относительности (1905 г.) до общей теории относительности (1916 г.). позволил осознать, что гравитация как-то связана с искривлением самого . Кульминацией усилий по точной количественной формулировке данного факта являются уравнения Эйнштейна:

\(\displaystyle R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu \nu}=\frac{8\pi G}{c^{4}}T_{\mu \nu}\)

Они записаны с помощью математики, никогда прежде не появлявшейся в уравнениях физики — Римановой геометрии. Буквы с индексами есть не что иное как тензоры: \(\displaystyle R_{\mu \nu}\) — тензор Риччи, \(\displaystyle g_{\mu \nu}\) — метрический тензор, \(\displaystyle T_{\mu \nu}\) — тензор энергии-импульса. Само тензорное исчисление появилось всего несколькими годами ранее теории относительности.

Индексы \(\displaystyle\mu \) и \(\displaystyle \nu\) в уравнениях Эйнштейна могут принимать значения от единицы до четырех, соответственно тензоры можно представить матрицами 4х4. Поскольку они симметричны относительно диагонали, независимы друг от друга оказываются только десять компонент. Таким образом, в развернутом виде имеем систему из десяти нелинейных дифференциальных уравнений — уравнений Эйнштейна.

Задачей решения уравнений Эйнштейна является нахождение явного вида \(\displaystyle g_{\mu \nu}\), полностью характеризующего геометрию пространства-времени. Исходными данными являются тензор энергии-импульса \(\displaystyle T_{\mu \nu}\) и начальные/граничные условия. Тензор Риччи \(\displaystyle R_{\mu \nu}\) и скалярная кривизна Гаусса \(\displaystyle R\) являются функциями метрического тензора и его производных и характеризуют кривизну пространства-времени. Концептуально уравнения Эйнштейна можно представить как:

геометрия (левая часть) = энергия (правая часть)

Правая часть уравнений Эйнштейна это начальные условия в виде распределения масс (помним, \(\displaystyle E=mc^{2}\)), а левая это чисто геометрические величины. То есть уравнения говорят, что масса (энергия) влияет на геометрию пространства-времени.

Искривленная геометрия в свою очередь определяет траектории движения материальных тел. То есть согласно Эйнштейну — гравитация это и есть пространство-время. Просто оно в отличие от Ньютоновской теории не является статическим неизменным объектом, а может деформироваться, искривляться.

Метрический тензор — решение уравнений Эйнштейна — в общем случае разный в разных точках пространства, то есть является функцией координат. По-сути само пространство-время становится динамическим объектом (полем), аналогично другим физическим величинам типа электромагнитного поля.

Внешне уравнения Эйнштейна совсем не похожи на закон всемирного тяготения Ньютона:

\(\displaystyle F=G\frac{mM}{r^2}\)

Но в приближении малых масс и скоростей они повторяют результаты Ньютоновской теории. Из-за множества тензорных компонент аналитические вычисления крайне запутаны, благо сейчас все моделирование можно производить на компьютере.

В рамках ОТО существуют эффекты отсутствующие в Ньютоновской гравитации, например, увлечение систем отсчета вблизи вращающихся массивных тел или недавно экспериментально обнаруженные гравитационные волны.

Гравитация остается единственным полем для которого так и не построена соответствующая квантовая теория. Даже для кварков (составляющих нейтронов и протонов), теоретически предсказанных только в 1960-х, уже давно построена квантовая теория поля.

Это объясняется тем, что все физические величины обычно выражаются в виде функций от пространственных координат и времени \(\displaystyle x=f(t)\). Что делать когда само пространство \(\displaystyle x\) и время \(\displaystyle t\) теряют классический смысл? По-сути стоит задача построить квантовую теорию самого пространства-времени. Наивные подходы, вводящие минимальную длину и минимальный промежуток времени, несостоятельны вследствие

Все попытки объяснить явление фотоэффекта на основе волновой теории света оказались безрезультатными. Объяснение фотоэффекта было дано А. Эйнштейном в 1905 году. Экспериментальные законы фотоэффекта Эйнштейн рассмотрел с позиций квантовой теории света. Как известно, чтобы вырвать электрон из металла, необходимо затратить некоторую энергию. Энергия, необходимая для вырывания электрона из металла, называется работой выхода. Энергия падающего кванта расходуется на работу выхода и на кинетическую энергию выбитого электрона:

где hv - энергия падающего кванта, А - работа выхода, - кинетическая энергия вырванного с поверхности металла электрона.

Формула (4) носит название уравнения Эйнштейна для фотоэффекта. Это уравнение объясняет основные экспериментальные законы и вид вольт-амперной характеристики фотоэлемента (рис. 19 и 20).

Интенсивность света, согласно квантовой теории, пропорциональна числу квантов энергии падающего света. Поэтому число вырванных электронов с увеличением светового потока увеличивается и, следовательно, увеличивается ток насыщения (рис. 19).

Максимальная кинетическая энергия вырванных электронов, а следовательно, и задерживающий потенциал U з, определяется согласно формуле (3) только частотой света и работой выхода. Работа выхода А определяется лишь родом металла. Поэтому с увеличением частоты падающего света увеличивается кинетическая энергия вырванных электронов и задерживающий потенциал U з (рис. 20). От величины светового потока кинетическая энергия не зависит (см. форм. 3).

Для каждого вещества фотоэффект наблюдается лишь в том случае, если частота v света больше минимального значения v 0 . Из уравнения Эйнштейна следует, что для вырывания электронов из металла необходимо затратить работу выхода - А . Следовательно, для того, чтобы вырвать электрон, энергия кванта должна быть больше этой работы выхода hv >А . Предельная частота v 0 (красная граница фотоэффекта) выражается: v 0 =A /h . Поскольку работа выхода А определяется родом вещества, предельная частота v 0 (красная граница) для разных веществ различна. Для цинка красной границе соответствует длина волны λ=3,7·10 -7 м (ультрафиолетовая область). Напомним, что длина волны света связана с частотой следующим соотношением λ 0 =c /v 0 .

Вопросы

1. Нарисовать зависимость кинетической энергии вырванных фотоэлектронов от величины падающего светового потока для частот v 1 и v 2 , причем v 1 > v 2 .

2. Между катодом и анодом приложен задерживающий потенциал, такой, что вырванные фотоэлектроны пролетают только половину расстояния между анодом и катодом. Смогут ли они долететь до анода, если расстояние между катодом и анодом уменьшить вдвое?