Основные виды геометрических моделей. Электронная геометрическая модель объекта в дизайне Геометрические фигуры как модели реальных объектов

При решении большинства задач в области автоматизированного конструирования (К) и технологической подготовки производства (ТПП) надо иметь модель объекта проектирования.

Под моделью объекта понимают его некоторое абстрактное представление, удовлетворяющее условию адекватности этому объекту и позволяющее осуществлять его представление и обработку с помощью компьютера.

Т.о. модель – набор данных, отображающих свойства объекта и совокупность отношений между этими данными.

В модель объекта ПР в зависимости от характера ее исполнения может входить ряд разнообразных характеристик и параметров. Чаще всего модели объектов содержат данные о форме объекта, его размерах, допусках, применяемых материалах, механических, электрических, термодинамических и других характеристиках, способах обработки, стоимости, а также о микрогеометрии (шероховатость, отклонения формы, размеров).

Для обработки модели в графических системах САПР существенным является не весь объем информации об объекте, а та часть, которая определяет его геометрию, т.е. формы, размеры, пространственное размещение объектов.

Описание объекта с точки зрения его геометрии называется геометрической моделью объекта .

Но геометрическая модель может в себя включать еще и некоторую технологическую и вспомогательную информацию.

Информация о геометрических характеристиках объекта используется не только для получения графического изображения, но и для расчетов различных характеристик объекта (например, по МКЭ), для подготовки программ для станков с ЧПУ.

В традиционном процессе конструирования обмен информацией осуществляется на основе эскизных и рабочих чертежей с использованием нормативно-справочной и технической документации. В САПР этот обмен реализуется на основе внутримашинного представления объекта.

Под геометрическим моделированием понимают весь многоступенчатый процесс – от вербального (словесного) описания объекта в соответствии с поставленной задачей до получения внутримашинного представления объекта.

В системах геометрического моделирования могут обрабатываться 2-мерные и 3-хмерные объекты, которые в свою очередь могут быть аналитически описываемыми и неописываемыми. Аналитически неописываемые геометрические элементы, такие как кривые и поверхности произвольной формы, используются преимущественно при описании объектов в автомобиле-, самолето- и судостроении.

Основные виды ГМ

2-мерные модели , которые позволяют формировать и изменять чертежи, были 1-ми моделями, нашедшими применение. Такое моделирование часто применяется и до сих пор, т.к. оно намного дешевле (в отношении алгоритмов, использования) и вполне устраивает промышленные организации при решении разнообразных задач.

В большинстве 2-мерных систем геометрического моделирования описание объекта осуществляется в интерактивном режиме в соответствии с алгоритмами, аналогичными алгоритмам традиционного метода конструирования. Расширением таких систем является то, что контурам или плоским поверхностям ставится в соответствие постоянная или переменная глубина изображения. Системы, работающие по такому принципу, называется 2,5-мерными. Они позволяют получать на чертежах аксонометрические проекции объектов.

Но 2-мерное представление часто не удобно для достаточно сложных изделий. При традиционных способах конструирования (без САПР) пользуются чертежами, где изделие может быть представлено несколькими видами. Если изделие очень сложное, его можно представить в виде макета. 3-хмерная модель служит для того, чтобы создать виртуальное представление изделия во всех 3-х измерениях.

Различают 3 вида 3-хмерных моделей:

· каркасные (проволочные)

· поверхностные (полигональные)

· объемные (модели сплошных тел).

· Исторически 1-ми явились каркасные модели . В них хранятся только координаты вершин (x,y,z ) и соединяющие их ребра.

На рисунке видно, как куб может быть воспринят неоднозначно.

Т.к. известны только ребра и вершины, возможны различные интерпретации одной модели. Каркасная модель проста, но с ее помощью можно представить в пространстве только ограниченный класс деталей, в которых аппроксимирующие поверхности являются плоскостями. На основе каркасной модели можно получать проекции. Но невозможно автоматически удалять невидимые линии и получать различные сечения.

· Поверхностные модели позволяют описывать достаточно сложные поверхности. Поэтому они часто соответствует нуждам промышленности (самолето-, судо-, автомобилестроение) при описании сложных форм и работе с ними.

При построении поверхностной модели предполагается, что объекты ограничены поверхностями, которые отделяют их от окружающей среды. Поверхность объекта тоже становится ограниченной контурами, но эти контуру являются результатом 2-х касающихся или пересекающихся поверхностей. Вершины объекта могут быть заданы пересечением поверхностей, множеством точек, удовлетворяющих какому-то геометрическому свойству, в соответствии с которым определяется контур.

Возможны различные виды задания поверхностей (плоскости, поверхности вращения, линейчатые поверхности). Для сложных поверхностей используются различные математические модели аппроксимации поверхностей (методы Кунса, Безье, Эрмита, В-сплайна). Они позволяют изменять характер поверхности с помощью параметров, смысл которых доступен пользователю, не имеющему специальной математической подготовки.

Аппроксимация поверхностей общего вида плоскими гранями дает преимущество: для обработки таких поверхностей используются простые математические методы. Недостаток: сохранение формы и размеров объекта зависит от числа граней, используемых для аппроксимаций. Чем > число граней, тем < отклонение от действительной формы объекта. Но с увеличением числа граней одновременно увеличивается и объем информации для внутримашинного представления. Вследствие этого увеличивается как время на работу с моделью объекта, так и объем памяти для хранения модели.

· Если для модели объекта существенно разграничение точек на внутренние и внешние, то говорят об объемных моделях . Для получения таких моделей сначала определяются поверхности, окружающие объект, а затем они собираются в объемы.

В настоящее время известны следующие способы построения объемных моделей:

· В граничных моделях объем определяется как совокупность ограничивающих его поверхностей.

Структура может быть усложнена внесением действий переноса, поворота, масштабирования.

Достоинства:

¾ гарантия генерации правильной модели,

¾ большие возможности моделирования форм,

¾ быстрый и эффективный доступ к геометрической информации (например, для прорисовки).

Недостатки :

¾ больший объем исходных данных, чем при CSG способе,

¾ модель логически < устойчива, чем при CSG, т.е. возможны противоречивые конструкции,

¾ сложности построения вариаций форм.

· В CSG-моделях объект определяется комбинацией элементарных объемов с использованием геометрических операций (объединение, пересечение, разность).

Под элементарным объемом понимается множество точек в пространстве.

Моделью такой геометрической структуры является древовидная структура. Узлы (нетерминальные вершины) – операции, а листья – элементарные объемы.

Достоинства:

¾ концептуальная простота,

¾ малый объем памяти,

¾ непротиворечивость конструкции,

¾ возможность усложнения модели,

¾ простота представления частей и сечений.

Недостатки:

¾ ограничение рамками булевых операций,

¾ вычислительноемкие алгоритмы,

¾ невозможность использовать параметрически описанных поверхностей,

¾ сложность при работе с функциями > чем 2-го порядка.

· Ячеечный метод. Ограниченный участок пространства, охватывающий весь моделируемый объект, считается разбитым на большое число дискретных кубических ячеек (обычно единичного размера).

Моделирующая система должна просто записать информацию о принадлежности каждого куба объекту.

Структура данных представляется 3-хмерной матрицей, в которой каждый элемент соответствует пространственной ячейке.

Достоинства:

¾ простота.

Недостатки:

¾ большой объем памяти.

Для преодоления этого недостатка используют принцип разбиения ячеек на подъячейки в особо сложных частях объекта и на границе.

Объемная модель объекта, полученная любым способом, является корректной, т.е. в данной модели нет противоречий между геометрическими элементами, например, отрезок не может состоять из одной точки.

Каркасное представление м.б. использовано не при моделировании, а при отражении моделей (объемных или поверхностных) как один из методов визуализации.

Геометрическое моделирование

Пример.

Изменение масштаба.

Поворот осей;

Перенос в начало координат;

Пусть на плоскости задан отрезок прямой АВ: А(3,2) и В(-1,-1). Что произойдет с отрезком при полной смене координат наблюдателя, если: 1) начало координат переносится в точку (1,0);

2) произойдет поворот осей на угол

3) изменение масштаба по оси Х вдвое.

Решение:

1) в новой с.к. отрезок будет иметь следующие координаты: А(3-1, 2-0) и В(-1-1, -1-0), т.е А(2,2) и В(-2, -1);

2) при повороте осей в новой с.к:

3) изменение масштаба, S x =2

При решении большинства задач в области автоматизированного конструирования и технологии промышленного производства необходимо учитывать форму проектируемого объекта, поэтому в их основе лежит геометрическое моделирование.

Модель - это математическое и информационное представление объекта, сохраняемое в памяти ЭВМ.

Под геометрическими моделями понимают модели, содержащие информацию о геометрии изделия, технологическую, функциональную и вспомогательную информации.

Под геометрическим моделированием понимают весь процесс обработки от вербального (словесного на некотором языке) описания объекта в соответствии с поставленной задачей до получения внутримашинного представления.

В геометрическом моделировании объект можно представить в виде:

Ø Каркасная (проволочная) модель (рис. 1)

Ø Поверхностная (полигональная или фасетная) модель (рис. 2)

Ø Твердотельная (объемная) модель (рис. 3)

I) Каркасная: конструктивными элементами являются ребра и точки . Эта модель проста, но с ее помощью можно представить в пространстве только ограниченный класс деталей. Каркасные модели удобны для представления двумерных геометрических объектов на плоскости, на основе каркасной модели можно получать их проекции. Но в ряде случаев они дают неоднозначное представление и имеют ряд недостатков :

§ Неоднозначность, нельзя отличить видимые линии от невидимых, можно по-разному интерпретировать изображение;

§ Невозможность распознавания криволинейных граней, и, в следствии этого сложности тонирования;

§ Сложность обнаружения взаимного влияния компонентов.

Каркасные модели не используются для анимации. Возникают трудности при вычислении физических характеристик: объем, масса, и т.д. Используются такие модели преимущественно для самых общих построений.

II) Поверхностные модели : при построении такой модели предполагается, что технологические объекты ограничены плоскостями, которые ограничивают их от окружающей среды. Конструктивными элементами являются точки, ребра и поверхности . Здесь используются также различные криволинейные поверхности, что позволяет задавать тоновые изображения.

Поверхность технологического объекта, как и в каркасном моделировании, получается ограниченной контурами, но в полигонном моделировании эти контуры являются результатом двух касающихся или пересекающихся поверхностей. Здесь часто используются аналитические кривые, т.е исходные кривые описываемые некоторой сложной математической зависимостью.

Поверхностные модели дают возможность удобства скульптурного изображения, т.е любую поверхность можно внести как элементарную и в дальнейшем использовать ее для формирования сложных изображений. Использование таких поверхностных моделей позволяет легко изобразить сопряжение поверхностей.

Недостатком полигонного моделирования является то, что чем больше задающих поверхностей необходимо для описания объекта, тем сильнее полученная модель будет отличаться от его реальной формы, и тем выше количество обрабатываемой информации, а значит и определенные сложности в воспроизведении первоначального объекта.

III) Твердотельные модели . Конструктивными элементами твердотельных моделей являются: точка , контурный элемент и поверхность .

Для объемных моделей объектов существенно разграничение точек на внутренние и внешние, по отношение к объектам. Для получения таких моделей сначала определяются поверхности, ограничивающие объект, и затем они собираются в объект.

Полное определение объемной формы, возможность автоматического построения разрезов, сборок, удобное определение физических характеристик: массы, объема, и т.д., удобная анимация. Это используется для моделирования, обработки различными инструментами любых поверхностей.

Разнообразная палитра цветов дает возможность получения фотоизображения.

В качестве базовых примитивов используются различного вида отдельные элементы: цилиндр, конус, параллелелепипед, усеченный конус.

В основе построения сложных объемов из примитивов лежат булевы операции:

Пересечение;

Объединение;

/ - разность.

Их использование базируется на теоретико-множественном представлении об объекте как множестве точек принадлежащих тому или иному телу. Операция объединения предполагает объединение всех точек принадлежащих обоим телам (объединение нескольких тел в одно); пересечение – всех точек, лежащих на пересечении (результат- тело, которое содержит частично оба исходных тела); разность – вычитание одного тела из другого.

Все эти операции могут применяться последовательно над базовыми элементами и промежуточными результатами, получая нужный объект.

Таким образом строятся все детали в машиностроении: добавляются бобышки, вырезаются отверстия, пазы, проточки, и т.д.

Обособленным случаем объемной модели являются конструктивные модели, в которых геометрические объекты представляются в виде структур. Известны следующие способы построения таких структур:

1. Объем определяется как совокупность ограничивающих его поверхностей.

2. Объем определяется комбинацией элементарных объемов, каждый из которых обращается в соответствии с пунктом 1.

3D Моделирование позволяет самое удобное получение физических характеристик, удобно для выполнения имитации механической обработки.

В настоящее время существует большое число пакетов 3D моделирования. Остановимся на UNIGRAPHICS. (HP)

9.2. Система UNIGRAPHICS. (CAD/CAM – система).

Unigraphics - это интерактивная система автоматизации проектирования и изготовления. Для обозначения систем этого класса используется аббревиатура CAD/CAM, что переводится как Проектирование с Помощью Компьютера и Изготовление с Помощью Компьютера. Подсистема CAD предназначена для автоматизации проектных, конструкторских и чертежных работ на современных промышленных предприятиях. Подсистема CAM обеспечивает автоматизированную подготовку управляющих программ для оборудования с ЧПУ на основе математической модели детали, созданной в подсистеме CAD.

Система Unigraphics имеет модульную структуру. Каждый модуль выполняет определенные функции. Все функциональные модули Unigraphics вызываются из управляющего модуля, который называется Unigraphics Gateway («ворота»). Это базовый модуль, который «встречает» пользователя при запуске Unigraphics, когда ни один прикладной модуль еще не запущен. Как бы олицетворяет собой фойе (Geteway) в здании Unigraphics.

Unigraphics - это трехмерная система, которая позволяет идеально воспроизвести почти любую геометрическую форму. Комбинируя эти формы, можно спроектировать изделие, выполнить инженерный анализ и выпустить чертежи.

После завершения проектирования имеется возможность разработки технологического процесса для изготовления детали.

Система Unigraphics имеет более 20 модулей.

1.Создание 3-х мерной модели в модуле Modeling/Моделирование .

Рассмотрены возможности создания моделей по эскизам, описан процесс образования тела, рассмотрено построение тела при помощи листовых поверхностей. Рассмотрено создание собственного типового элемента.

2.Разработка сборочной единицы с применением модуля Assemblies/Сборки.

Данный модуль позволяет скомпоновать сборочную единицу. Несколько моделей могут быть собраны по условиям сопряжения поверхностей, либо растиражированы в единый сборочный узел.

3.Испытания детали с применением модуля Analyze/Структурный анализ .

При проектировании часто возникает необходимость испытания детали. Это необходимо для того, чтобы еще на ранних этапах проектирования выявить недостатки конструкции и найти так называемые «слабые места». Для испытания детали в UG существует модуль Структурный Анализ.

4.Создание конструкторской документации с помощью модуля Drafting/Черчение.

В этом модуле рассмотрены общие принципы создания конструкторской документации в CAD/CAM/CAE системе Unigraphics. Приведены особенности настроек различных параметров, методы установки размеров, работа со слоями, шаблонами и таблицами, а также параметры вывода документов на печать.

5.Разработка технологического процесса для изготовления детали с применением модуля Manufacturing/Обработка.

Модуль обработки позволяет в интерактивном режиме программировать и обрабатывать постпроцессором траектории инструмента для операций фрезерования, сверления, токарной и электроэрозионной обработки.

1.Один из главных модулей пакета является Modeling с помощью которого выполняется построение твердотельной геометрической модели. Моделирование ведется на основе типовых элементов и операций. При необходимости пользователь может использовать любое созданное тело как базовое.

Эскиз – набор функций который позволяет задать плоский контур кривых, управляемых размерами.

Используется своя терминология :

Feature – типовой элемент формы.

Body – тело, класс объектов, которое состоит из двух видов: объемное тело, либо листовое тело.

Solid body – тело, состоящее из граней и ребер, которые вместе полностью замыкают объем - объемное тело;

Sheet body – тело, состоящее из граней и ребер, которые не замыкают объем – листовое тело.

Face – часть внешней поверхности тела, которая имеет одно уравнение для своего описания.

Edge – кривые, которые ограничивают грань.

Part – часть проекта.

Язык выражений .

Используется язык выражений, синтаксис которого напоминает язык С. Можно задать переменные, набор операций, можно определить выражение, которое описывает некоторую часть, и, импортировать в другие части. Используя механизм передачи выражений между частями можно моделировать зависимость между компонентами сборки. Например, некоторая заклепка может зависеть от диаметра отверстия. При изменении диаметра отверстия автоматически изменится и диаметр этой заклепки, если они связаны.

Типовые элементы формы .

Ø Заметаемые тела – на основе эскиза перемещением в прямом направлении.

Ø Тела вращения – получается от эскиза или плоского тела вращением вокруг оси (параллелепипед, цилиндр, конус, сфера, труба, бобышка)

Булевы операции .

§ Unite – объединить;

§ Subtract – вычесть;

§ Intersect – пересечение.

9.2.1.Модуль Modeling/Моделирование.

Одним из главных модулей UG является Modeling, с помощью которого выполняется построение твердотельной геометрической модели. Моделирование ведется на основе типовых элементов и операций. При необходимости можно использовать любое созданное тело как базовое.

Преимущества твердотельного моделирования:

ü Богатый набор типовых методов построения твердого тела;

ü Возможность управления моделью с помощью изменения параметров;

ü Легкость редактирования;

ü Высокая производительность;

ü Возможность концептуального проектирования;

ü Лучшая визуализация модели,

ü Модель создается за меньшее количество шагов;

ü Возможность создания “мастер-модели”, способной поставлять информацию в такие приложения как черчение и программирование для станков с ЧПУ;

ü Автоматическое обновление чертежа, программы для станка и т.д. при изменении геометрической модели;

ü Простой, но точный способ оценки массово-инерционных характеристик модели.

Среди методов твердотельного моделирования UNIGRAPHICS предлагает:

Эскиз – набор функций, который позволяет задать плоский контур кривых, управляемых размерами.

Можно использовать эскиз для быстрого задания и определения размеров для любой плоской геометрии. Эскиз может быть вытянут, повернут либо протащен вдоль произвольной заданной направляющей. Все эти операции приводят к построению твердого тела. В дальнейшем можно изменить размеры эскиза, поменять на нем размерные цепочки, изменить наложенные на него геометрические ограничения. Все эти изменения приведут к модификации как самого эскиза, так и твердотельного тела, которое на нем построено.

Моделирование на базе типовых элементов и операций

Используя метод типовых элементов и операций, можно легко создать сложное твердое тело, имеющее отверстия, карманы, пазы и другие типовые элементы. После создания геометрии есть возможность прямого редактирования любого из использованных элементов. Например , изменить диаметр и глубину ранее заданного отверстия.

Собственные типовые элементы

Если не достаточен стандартный набор типовых элементов, то можно легко его расширить, объявив любое созданное тело как типовое и, задав параметры, которые должны вводиться пользователем при его использовании.

Ассоциативность

Ассоциативность – взаимосвязь элементов геометрической модели. Эти зависимости устанавливаются автоматически, по мере создания геометрической модели. Например , сквозное отверстие автоматически ассоциируется с двумя гранями твердого тела. После этого любые изменения этих граней автоматически вызовут изменение отверстия, так что его свойство `протыкать` модель насквозь сохранится.

Позиционирование типовых элементов

Возможно использование функции размерного позиционирования элементов для того, чтобы правильно определить их положение на твердом теле. Позиционные размеры так же обладают свойством ассоциативности и помогут сохранить целостность описания модели при ее дальнейшем редактировании. Кроме того, можно изменять положение элементов простым редактированием размеров.

Ссылочные типовые элементы

Создаются такие ссылочные элементы, как координатные оси и плоскости. Эти элементы удобно использовать для ориентации и позиционирования других типовых элементов. Координатные плоскости, например , удобно использовать для задания положения эскиза. Координатная ось может использоваться как ось вращения, либо как прямая до которой задается размер. Все ссылочные элементы сохраняют свойство ассоциативности.

Выражения

Возможность добавления в модель необходимых соотношений, используя возможность задания параметров в виде математических формул любой сложности, содержащих даже условный оператор “если”.

Булевы операции

При построении твердого тела система допускает логические операции объединения, вычитания и пересечения. Эти операции могут использоваться как для сплошного, так и листового твердого тела.

Соотношение Ребенок/Родитель

Элемент построения, зависящий от другого элемента, называется ребенком. Элемент, на базе которого создается новый элемент - родитель.

9.2.2. Модуль Assemblies/Сборки.

Этот модуль предназначен для конструирования сборочных единиц (узлов), моделирования отдельных деталей в контексте сборки.

Устанавливаются ассоциативные связи сборки с ее компонентами для упрощения процесса проведения изменений на различных уровнях описания изделия. Особенность использования сборки заключается в том, что конструкторские изменения одной детали отражаются на всех сборках, использующих эту деталь. В процессе построения сборки не нужно заботится о геометрии. Система создает ассоциативные связи сборки с ее компонентами, которые обеспечивают автоматическое отслеживание изменений геометрии. Существуют различные способы построения сборки, которые позволяют детали или подсборки друг с другом.

Под геометрической моделью объекта понимается совокупность сведений, однозначно определяющих его конфигурацию и геометрические параметры.

В настоящее время существует два подхода к автоматизированному созданию геометрических моделей с использованием компью­терных технологий.

Первый подход, представляющий традиционную технологию создания графических изображений, базируется на двухмерной геометрической модели и фактическом использовании компьютера как электронного кульмана, позволяющего ускорить процесс вычерчивания объекта и улучшить качество оформления конструкторской документации. Центральное место при этом занимает чер­теж, который служит средством представления изделия на плоскости в виде ортогональных проекций, видов, разрезов и сечений и содержит всю необходимую информацию для разработки технологического процесса изготовления изделия. В двухмерной модели геометрия изделия отображается в компьютере как плоский объект, каждая точка которого представляется с помощью двух координат: X и Y.

Очевидны основные недостатки использования двухмерных моделей при автоматизированном проектировании:

Создаваемую конструкцию объекта приходится мысленно представлять в виде отдельных элементов чертежа (ортогональных проекций, видов, разрезов и сечений), что является сложным процессом даже для опытных разработчиков и зачастую приводит к ошибкам проектирования конструкций изделий;

Все графические изображения на чертеже (ортогональные проекции, виды, разрезы, сечения) создаются независимо друг от друга и поэтому ассоциативно не связаны, то есть каждое изменение объекта проектирования ведет за собой необходимость выполнения изменений (редактирования) в каждом соответствующем графическом изображении чертежа, что является трудоемким процессом и причиной значительного количества ошибок при модификации конструкций изделий;

Невозможность использования полученных чертежей для создания компьютерных моделей контрольных сборок объектов из составляющих компонентов (агрегатов, узлов и деталей);

Сложность и высокая трудоемкость создания аксонометрических изображений сборочных единиц изделий, их каталогов и руководств по их эксплуатации;

Двухмерные модели неэффективно использовать на последующих (после создания конструкции изделия) этапах производственного цикла.

Второй подход к разработке графических изображений объектов проектирования основан на использовании трехмерных геометрических моделей объектов, которые создаются в автоматизированных системах трехмерного моделирования. Такие компьютерные модели являются наглядным спо­собом представления объектов проектирования, что позволяет исключить перечисленные недостатки двухмерного моделирования и значительно расширить эффективность и области применения трехмерных моделей на различных этапах производственного цикла изготовления изделий.

Трехмерные модели служат для компьютерного представления моделей изделий в трех измерениях, то есть геометрия объекта представляется в компьютере с помощью трех координат: X, Y и Z. Это позволяет перестраивать аксонометрические проекции моделей объектов в различных пользовательских системах координат, а также получать их аксонометрические виды с любой точки зрения или визуализировать их в виде перспективы. Поэтому трехмерные геометрические модели обладают значительными преимуществами по сравнению с двухмерными моделями и позволяют значительно повысить эффективность проектирования.

Основные достоинства трехмерных моделей:

Изображение наглядно и просто воспринимается проектировщиком;

Чертежи деталей создаются с помощью автоматически получаемых проекций, видов, разрезов и сечений трехмерной модели объекта, что значительно повышает производительность разработки чертежей;

Изменения в трехмерной модели автоматически вызывают соответствующие изменения в ассоциативно связанных графических изображениях чертежа объекта, что позволяет быстро модифицировать чертежи;

Возможно создание трехмерных моделей виртуальных контрольных сборок и каталогов изделий;

Трехмерные модели используются для создания операционных эскизов технологических процессов изготовления деталей и формообразующих элементов технологической оснастки: штампов, прессформ, литейных форм;

С помощью трёхмерных моделей можно проводить имитирование работы изделий с целью определения их работоспособности до изготовления;

Трехмерные модели используются в системах автоматизированной подготовки программ для автоматического программирования траекторий перемещения рабочих органов многокоординатных станков с числовым программным управлением;

Эти достоинства позволяют эффективно использовать трехмерные модели в системах автоматизированного управления жизненным циклом изделий.

Различают три основных вида трехмерных моделей:

- каркасные (проволочные), в которых изображения представляются координатами вершин и соединяющими их ребрами;

- поверхностные , представляемые поверхностями, ограничивающими создаваемую модель объекта;

- твердотельные , которые формируется из моделей сплошных тел;

- гибридные .

Трехмерные графические модели содержат информацию обо всех графических примитивах объекта, расположенного в трехмерном пространстве, то есть строится числовая модель трехмерного объекта, каждая точка которого имеет три координаты (X,Y,Z).

Каркасная модель представляет объемное изображение объекта в виде линий пересечения граней объекта. В качестве примера на рис.10.1 показана каркасная модель и структура данных компьютерной модели внутренних вычислений тетраэдра.

Рис. 10.1. Структура данных каркасной модели тетраэдра

Основные недостатки каркасных моделей:

Невозможно автоматическое удаление скрытых линий;

Возможность неоднозначного представления объекта;

В сечении объекта плоскостями будут только точки пересечения ребер объекта;

Однако каркасные модели не требуют большого количества вычислений, то есть высокого быстродействия и большой компьютерной памяти. Поэтому они экономичны с точки зрения использования их при создании компьютерных изображений.

В поверхностных моделях объемное изображение объекта представляется в виде совокупности отдельных поверхностей.

При создании трехмерных поверхностных моделей используются аналитические и сплайн-поверхности.

Аналитические поверхности (плоскость, цилиндр, конус, сфера и др.) описываются математическими уравнениями.

Сплайн-поверхности представляются массивами точек, между которыми положения остальных точек определяются с помощью математической аппроксимации. На рис. 10.2б показан пример сплайн-поверхности, созданной перемещением плоского эскиза (рис.10.2а) в выбранном направлении.

Рис. 10.2. Пример сплайн-поверхности

Недостатки поверхностных моделей:

В сечении объекта плоскостями будут только линии пересечения поверхностей объекта с секущими плоскостями;

Невозможно выполнение логических операций сложения, вычитания и пересечения объектов.

Достоинства поверхностных моделей:

Однозначное представление объекта;

Возможность создания моделей объектов, имеющих сложные по конфигурации поверхности.

Трехмерные поверхностные модели нашли широкое применение при создании моделей сложных объектов, состоящих из поверхностей, относительная толщина которых намного меньше размеров создаваемых моделей объектов (корпус судна, фюзеляж самолета, кузов автомобиля и др.).

Кроме того, поверхностные модели используются при создании гибридных твердотельных моделей с использованием поверхностно-ограниченных моделей, когда создание твердотельной модели очень сложно или невозможно вследствие сложных поверхностей объекта.

Твердотельная модель является реальным представлением объекта, так как структура компьютерных данных включает координаты точек всего тела объекта. Это позволяет осуществлять логические операции над объектами: объединение, вычитание и пересечение.

Существует две разновидности твердотельных моделей: поверхностно-ограниченная и объемная.

В поверхностно-ограниченной твердотельной модели границы объекта формируются с помощью поверхностей.

Для объемной твердотельной модели модель внутренних вычислений представляет координаты точек всего твердого тела. Очевидно, что твердотельные модели объектов требуют выполнения большого количества вычислений по сравнению с каркасными и поверхностными моделями, так как в процессе их преобразований требуется пересчет координат всех точек тела объекта и в связи с этим – больших вычислительных мощностей компьютеров (быстродействия и оперативной памяти). Однако эти модели обладают достоинствами, позволяющими эффективно использовать их в процессе автоматизированного проектирования:

Возможно автоматическое удаление скрытых линий;

Наглядность и невозможность неоднозначного представления объекта;

В сечении объекта плоскостями будут получаться разрезы, используемые при создании чертежей;

Возможно выполнение логических операций сложения, вычитания и пересечения объектов.

На рис.10.3 в качестве иллюстрации показаны результаты сечения плоскостью различных типов трехмерных моделей параллелепипеда: каркасной, поверхностной и твердотельной.

Рис. 10.3. Сечения плоскостью различных типов трехмерных моделей

Эта иллюстрация показывает, что с помощью трехмерных моделей возможно получение разрезов и сечений, что требуется выполнять при создании чертежей изделий.

Принцип создания сложной модели объекта основан на последовательном выполнении трех логических (булевых) операций с твердотельными моделями(рис.10.4): гибридная модель , представляющая собой комбинацию поверхностно-ограниченной модели и объемной твёрдотельной модели, что позволяет использовать преимущества обеих моделей.

Достоинства твердотельных и гибридных моделей являются основной причиной их широкого использования при создании трехмерных моделей объектов, несмотря на необходимость выполнения большого количества вычислений и, соответственно, применения компьютеров, имеющих большую память и высокое быстродействие.

Геометрическая модель–
представление о внешних признаках
реального объекта.
Геометрическая компьютерная
модель – представление
информационной модели с
помощью средств компьютерной
графики.

Геометрическое моделирование подразделяется на:

o
o
o
проектирование каркасов - геометрическая
модель строится из ограниченного набора
графических примитивов (отрезки, дуги,
конические кривые).
поверхностей - моделирование
многообразий второго порядка (сфер,
цилиндров, конусов и т.д).
объемных тел - основным объектом
моделирования является трехмерное
объемное тело.

Виды и свойства моделей

o
Линиями можно описать отдельные геометрические свойства предметов, представить
характерные черты объектов. Они могут быть пространственными и двумерными. Кривые
линии служат в качестве строительного материала для создания поверхностей и тел.
o
Поверхности, как и линии, являются математическими абстракциями, дающими
представление об отдельных свойствах предметов, и служат строительным материалом
для создания тел.
o
Совокупность стыкующихся по границам поверхностей называется оболочкой. Для
моделирования нужно описать совокупность поверхностей, отделяющих внутренний объем
предмета от остальной части пространства.
o
Для геометрического моделирования предметов, занимающих конечный объем, в
математике используются объекты, называемые твердыми телами или просто телами. При
моделировании тел строятся поверхности, отделяющие занимаемую ими часть
пространства от остальной части пространства.

Модели двумерной графики

Растровая
Векторная
Трехмерная
Фрактальная

Растровая модель

Достоинства
Недостатки
простота оцифровки (сканирования или жестко фиксированное количество
фотосъемки с возможным
пикселов в растре.
последующим сканированием
отпечатка (слайда)).
возможность очень тонкой
корректировки изображений
интерференция
Простота процедуры преобразования
отсутствие внутренней структуры,
пиксельной модели в изображение при соответствующей структуре
выводе на экран или печать
изображенных объектов
большой объем памяти и длительное
время обработки

Векторная модель

Достоинства
Недостатки
Достаточно малый объем занимаемой
памяти
Включение в состав векторной модели
множества типов объектов затрудняет
изучение ее устройства
Векторное изображение может быть
структурировано с произвольной
степенью детализации
Построение векторной модели
изображения представляет собой
задачу, плохо поддающуюся
автоматизации
Объекты векторной модели
изображения легко
преобразовываются, их
масштабирование не влечет за собой
ни искажения изображения, ни утраты
визуальной информации
Векторная модель изображения не
дает пользователю инструментов,
соответствующих традиционной
технике живописи
В векторной модели текст,
представляется отдельной категорией
объектов

процесс эволюции
программ векторной
графики наиболее быстро
движется именно в
направлении повышения
реалистичности
векторных изображений,
и новые объекты
векторной модели
(сетчатые заливки, тени,
градиентная
прозрачность) в
значительной степени
расширяют
изобразительные возможности векторной

Модели представления информации о трехмерных объектах

Полигональные
(сетчатые)
Воксельные
Функциональные

Полигональные (сетчатые) модели

Полигональные (сетчатые) модели

Достоинства
Недостатки
соответствует не изображению, а форме
объектов и несет в себе больше
информации о них, чем любая модель
двухмерной графики
алгоритмы визуализации и выполнения
топологических операций (например,
построение сечений) довольно сложны
дает возможность автоматически решать при построении сложных моделей число
задачи построения иллюзии перспективы, граней растет с поражающей
теней и бликов при различном освещении стремительностью, что не только делает
сетчатую модель не слишком компактной,
но и требует колоссальной
вычислительной мощности
модель дает возможность с
минимальными затратами труда строить
изображение смоделированной сцены в
любом ракурсе
аппроксимация плоскими гранями
приводит к значительной погрешности,
особенно при моделировании сложных
поверхностей
будучи по своей природе векторной,
сохраняет многие достоинства, присущие
векторной модели изображения
повышенные требования к пользователю,
подразумевая у него наличие развитого
пространственного воображения

Воксельная модель

Воксельная модель

ВОКСЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
Достоинства
Недостатки
возможность представлять
внутренность объекта, а не только
внешний слой
большое количество информации,
необходимое для представления
объемных данных
простая процедура отображения
объемных сцен
значительные затраты памяти,
ограничивающие разрешающую
способность, точность моделирования
простое выполнение топологических
операций (например, чтобы показать
сечение пространственного тела,
достаточно воксели сделать
прозрачными)
проблемы при увеличении или
уменьшении изображения; например, с
увеличением ухудшается разрешающая
способность изображения

Функциональные модели

Достоинства функциональных моделей

легкая процедура расчета
координат каждой точки;
небольшой объем
информации для
описания сложных форм;
возможность строить
поверхности на основе
скалярных данных без
предварительной
триангуляции.
Шуховская башня – пример использования
гиперболоида вращения

Геометрической параметризацией называется
параметрическое моделирование, при котором
геометрия каждого параметрического объекта
пересчитывается в зависимости от положения
родительских объектов, его параметров и
переменных.

Геометрическая параметризация

o
o
Хорошая идея – изменить один или несколько
параметров и посмотреть, как будет вести себя при
этом вся модель.
Конструктор, в случае параметрического
проектирования, создает математическую модель
объектов с параметрами, при изменении которых
происходят изменения конфигурации детали,
взаимные перемещения деталей в сборке и т.п.

Геометрические операции над моделями

Над телами, как и над другими геометрическими
объектами, можно выполнять операции –
совокупность действий над одним или несколькими
исходными телами, которая приводит к рождению
нового тела. Одними из основных операций для
двух тел являются булевы операции.
o Булевыми операциями называют операции
объединения, пересечения и вычитания тел, так
как они выполняют одноименные операции над
внутренними объемами тел (над множествами
точек пространства, находящимися внутри тел).

Операция объединения

o Результатом операции объединения двух тел является тело,
которое содержит точки, принадлежащие внутреннему
объему как первого, так и второго тела.
o суть операции: нужно найти линии пересечения граней тел,
удалить ту часть первого тела, которая попала внутрь второго
тела и ту часть второго тела, которая попала внутрь первого
тела, а из всего остального построить новое тело.
Два исходных тела
Объединение тел

Операция пересечения

o Результатом операции пересечения двух тел является тело,
которое содержит точки, принадлежащие внутреннему объему
как первого, так и второго тела.
o Суть операции пересечения тел: нужно найти линии
пересечения тел, удалить ту часть первого тела, которая не
попала внутрь второго, и ту часть второго тела, которая не
попала внутрь первого, а из всего остального построить новое
тело.
Два исходных тела
Пересечение тел

Операция вычитания

o Результатом операции вычитания двух тел является тело, которое
содержит точки, принадлежащие внутреннему объему первого, но не
принадлежащие внутреннему объему второго тела.
o Суть операции вычитания тел: нужно найти линии пересечения тел,
удалить ту часть первого тела, которая попала внутрь второго, и ту часть
второго тела, которая не попала внутрь первого, а из всего остального
построить новое тело. Результат операции зависит от того какое тело
вычитается.
Два исходных тела
Разность тел

Моделирование – один из основных методов познания, который заключается в выделении из сложного явления (объекта) некоторых частей и замещении их другими объектами, более понятными и удобными для описания, объяснения и разработки.

Модель – реальный физический объект или процесс, теоретическое построение, упорядоченный набор данных, которые отражают некоторые элементы или свойства изучаемого объекта или явления, существенные с точки зрения моделирования.

Математическая модель – модель объекта, процесса или явления, представляющая собой математические закономерности, с помощью которых описаны основные характеристики моделируемого объекта, процесса или явления.

Геометрическое моделирование – раздел математического моделирования – позволяет решать разнообразные задачи в двумерном, трехмерном и, в общем случае, в многомерном пространстве.

Геометрическая модель включает в себя системы уравнений и алгоритмы их реализации. Математической основой построения модели являются уравнения, описывающие форму и движение объектов. Все многообразие геометрических объектов является комбинацией различных примитивов – простейших фигур, которые в свою очередь состоят из графических элементов - точек, линий и поверхностей.

В настоящее время геометрическое моделирование успешно используется в управлении и других областях человеческой деятельности. Можно выделить две основные области применения геометрического моделирования: проектирование и научные исследования.

Геометрическое моделирование может использоваться при анализе числовых данных. В таких случаях исходным числовым данным ставится в соответствие некоторая геометрическая интерпретация, которая затем анализируется, а результаты анализа истолковываются в понятиях исходных данных.

Этапы геометрического моделирования :

● постановка геометрической задачи, соответствующая исходной прикладной задаче или ее части;

● разработка геометрического алгоритма решения поставленной задачи;

● реализация алгоритма при помощи инструментальных средств;

● анализ и интерпретация полученных результатов.

Методы геометрического моделирования :

● аналитический;

● графический;

● графический, с использованием средств машинной графики;

● графоаналитические методы.

Графоаналитические методы основываются на разделах вычислительной геометрии, таких как теория R-функций, теория поверхностей Кунса, теория кривых Безье, теория сплайнов и др.

Для современных научных исследований характерно использование, наряду с двумерными и трехмерными, многомерных геометрических моделей (физика элементарных частиц, ядерная физика и т. д.).

Системы координат

Система координат (СК) – совокупность базисных (линейно независимых) векторов и единиц измерения расстояния вдоль этих векторов (e 1, e 2, …, en ).

Если базисные вектора нормированы (единичной длины) и взаимно ортогональны, то такая СК называется декартовой (ДСК).

Мировая система координат (МСК) – xyz – содержит точку отсчета (начало координат) и линейно независимый базис, благодаря которым становится возможным цифровое описание геометрических свойств любого графического объекта в абсолютных единицах.

Экранная система координат (ЭСК) – x эy эz э. В ней задается положение проекций геометрических объектов на экране дисплея. Проекция точки в ЭСК имеет координату z э = 0. Тем не менее, не следует отбрасывать эту координату, поскольку МСК и ЭСК часто выбираются совпадающими, а, вектор проекции [x э, y э, 0] может участвовать в преобразованиях, где нужны не две, а три координаты.

Система координат сцены (СКС) – x сy сz с – описывает положение всех объектов сцены - некоторой части мирового пространства с собственным началом отсчета и базисом, которые используются для описания положения объектов независимо от МСК.

Объектная система координат (ОСК) – x оy оz о – связана с конкретным объектом и совершает с ним все движения в СКС или МСК.

В трехмерном пространстве (R3):

● ортогональная декартова СК (x , y , z );

● цилиндрическая СК (ρ, y , φ);

● сферическая СК (r , φ, ω).

Соотношение между декартовой СК и цилиндрической СК :

Соотношение между декартовой СК и сферической СК :
Соотношение между цилиндрической СК и сферической СК :

Аффинные преобразования

Аффинным называется преобразование, обладающее следующими свойствами :

● любое аффинное преобразование может быть представлено как последовательность операций из числа простейших: сдвиг, растяжение/сжатие, поворот;

● сохраняются прямые линии, параллельность прямых, отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, и отношение площадей фигур.

Аффинные преобразования координат на плоскости :

(x , y ) – двумерная система координат,

(X , Y ) – координаты старой СК в новой системе координат.

Обратное преобразование:

2. Растяжение/сжатие осей:

Обратное преобразование

Обратное преобразование – поворот системы (X ,Y ) на угол (-α):

Аффинные преобразования объектов на плоскости .

x , y – старые координаты точки, X , Y – новые координаты точки.

Сдвиг:
Обратное преобразование:
Масштабирование объекта:

Обратное преобразование:

3. Поворот вокруг центра координат:

Обратное преобразование:

Лекция 8

Геометрические модели плоских объектов

Основные понятия

Положение точки в пространстве Rn (n -мерном пространстве) задается радиус-вектором p = [p 1, p 2, … , pn ], имеющим n координат p 1, p 2, … , pn и разложение по n линейно-независимым базисным векторам e 1, e 2, … , en :

https://pandia.ru/text/78/331/images/image019_47.gif" width="277" height="59">

Линия на плоскости может быть задана с помощью уравнения в неявной форме:

(НФ) f (x ,y )= 0;

или в параметрической форме:

(ПФ) p (t )= [x (t ), y (t )].

В любой регулярной (гладкой и некратной) точке на линии p 0= [x 0, y 0]= p (t 0) возможна линеаризация кривой, т. е. проведение к ней касательной прямой, уравнения которой имеют вид

(НФ) Nx (x - x 0) + Ny (y - y 0) = 0 или N ◦ (p - p 0) = 0,

(ПФ) x (t ) = x 0 + Vx t , y (t )= y 0 + Vy t или p (t ) = p 0 + Vt .

Вектор нормали N = [Nx , Ny ] ортогонален линии и направлен в ту сторону, где f (p )> 0.

Направляющий вектор линии V = [Vx , Vy ] начинается в точке p 0 и направлен по касательной к p (t ) в сторону увеличения t .

Векторы N и V ортогональны, т. е. N ◦ V = 0 или NxVx + NyVy = 0.

Связь вектора нормали и направляющего вектора:

N =[Vy , - Vx ], V =[-Ny , Nx ]

Способы описания (модели) прямой линии

Неявное уравнение прямой задается тремя коэффициентами A , B и D , составляющими вектор F = [A , B , D ]:

(НФ): Ax + By + D =0.

Хотя бы одно из чисел A или B должно быть ненулевым.

Если оба коэффициента ненулевые (A ≠0 и B ≠0), то прямая проходит наклонно к осям координат и пересекается с ними в точках (-D / A , 0) и (0, - D / B ).

При A =0, B ≠0 уравнение By + D =0 описывает горизонтальную прямую y = – D / B .

При A ≠0, B = 0 уравнение Ax + D =0 описывает вертикальную прямую x = – D / A .

Прямая проходит через начало координат: f (0,0)=0 при D =0.

Благодаря свойству прямой разделять плоскость на две полуплоскости с противоположными знаками, неявное уравнение позволяет определять положение точки (точек) на плоскости относительно прямой:

1) точка q лежит на прямой, если f (q )=0;

2) точки a и b лежат по одну сторону от прямой, если f (a )∙ f (b )>0;

3) точки a и b лежат по разные стороны от прямой, если f (a )∙ f (b )<0.

Для построения прямой по неявному уравнению необходимо и достаточно иметь либо две несовпадающие точки p 0 и p 1, через которые она проходит, либо точку p 0 и направляющий вектор V , с помощью которого вторая точка p 1 вычисляется как p 1= p 0+ V .

Из неявного уравнения прямой N = [A , B ] Þ V = [- B , A ].

Нормальное уравнение прямой – прямая описывается с помощью точки p 0 и вектора нормали N и выводится из условия ортогональности векторов N и (p - p 0) для всех точек p , принадлежащих прямой f (p )= N ◦(p - p 0).

Неявная функция позволяет оценить положение точки p относительно вектора нормали прямой:

● при f (a )>0 точка a лежит в том же полупространстве, куда направлена нормаль, а угол Ð (a - p 0, N ) острый;

● при f (b )<0 угол Ð (b - p 0, N ) тупой, а точка b и нормаль находятся по разные стороны от прямой.

Параметрическая функция прямой p (t )= p 0+ Vt , где
V = [- Ny , Nx ] удобна для задания и построения частей прямой – отрезков и лучей. Для этого необходимо указать пределы изменения параметра t :

● бесконечный интервал -¥<t <¥ не ограничивает протяженность бесконечной прямой;

● при t ³0 получается луч, выходящий из точки p 0 в бесконечность в направлении вектора V ;

● конечный интервал t 0≤t ≤t 1 определяет отрезок прямой между точками p 0+ Vt 0 и p 0+ Vt 1.

Благодаря левой ориентации направляющего вектора V относительно вектора нормали N эквивалентная нормальной форме функция

https://pandia.ru/text/78/331/images/image030_34.gif" width="309" height="47 src=">

Изменение параметра пучка в интервале 0≤λ≤1 дает такие промежуточные прямые, что вращение происходит по кратчайшим углам.

Уравнение биссектрисы угла между двумя прямыми получается при λ=0,5, если | N 1|=| N 2| или | V 1|=| V 2|. В результате параметры биссектрисы можно найти по формулам

F бис=| N 2| F 1+| N 1| F 2, p бис(t )= q + V бисt , V бис=| V 2| V 1+| V 1| V 2.

Расчет биссектрис бывает необходим, например, при построении окружности, вписанной в треугольник. Как известно, ее центр лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов этого треугольника. При построении биссектрисы внутреннего угла следует учитывать направления подставляемых в формулу векторов сторон треугольника: они должны либо оба выходить из вершины, либо оба входить в нее. При несоблюдении этого правила по указанной формуле будет проведена биссектриса дополнительного угла треугольника, а окружность окажется вневписанной.