В прямоугольнике параллельные стороны равны. Какой четырёхугольник называется прямоугольником

Урок по теме « Прямоугольник и его свойства»

Цели урока:

Повторить понятие прямоугольника, опираясь на полученные знания учащихся в курсе математики 1 – 6 классов.

Рассмотреть свойства прямоугольника как частного вида параллелограмма.

Рассмотреть частное свойство прямоугольника.

Показать применение свойств к решению задач.

Ход урока .

I O рганизационный момент.

Сообщить цель урока, тему урока.

II Изучение нового материала .

Повторить:

1. Какая фигура называется параллелограммом?

2. Какими свойствами обладает параллелограмм?

● Ввести понятие прямоугольника.

Какой параллелограмм можно назвать прямоугольником?

Определение: Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. (слайд 3)

Значит, раз прямоугольник – это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Раз у прямоугольника другое название, то должно быть своё свойство (слайд 4).

● Задание для учащихся (самостоятельно): исследуйте стороны, углы и диагонали параллелограмма и прямоугольника, записав результаты в таблицу.

Параллелограмм

Прямоугольник

Стороны

Углы

Диагонали

Сделать вывод: диагонали прямоугольника равны.

● Этот вывод и является частным свойством прямоугольника:

Теорема. Диагонали прямоугольника равны.

Дано : АВСD – прямоугольник,

АС и BD диагонали.

Доказать : АС = BD

Доказательство:

1) Рассмотрим ∆ АСD и ∆ АВD :

а)
АD С =
D АВ = 90°,

б) А D – общая,

в) АВ = СD – противоположные стороны прямоугольника,

следовательно треугольники равны по двум катетам.

2)Так как треугольники равны, то АС = ВD .

●Рассмотрим свойства прямоугольника, зная, что он является параллелограммом.

Свойство 1: сумма углов прямоугольника равна 360°.

Доказательство : а) так как у прямоугольника четыре угла по 90°, то их сумма равна 360°.

б) так как прямоугольник – это четырехугольник, то сумма углов четырехугольника равна (n – 2) ∙180° = (4 – 2) ∙180° = 2∙180° = 360°.

Свойство 2: противоположные стороны прямоугольника равны.

Доказательство : а) так как прямоугольник – это параллелограмм, а у параллелограмма противоположные стороны равны, то и у прямоугольника противоположные стороны тоже будут равными.

Как еще можно доказать этот факт?

б) если провести диагональ АС, то из равенства прямоугольных треугольников АВС и С D А (по гипотенузе и острому углу) будет следовать равенство противоположных сторон прямоугольника.

Свойство 3: диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство : а) так как прямоугольник – это параллелограмм, а у параллелограмма диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то и у прямоугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Существует ли ещё одно доказательство этого свойства?

б) Да, через равенство треугольников АОВ и D ОС (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Свойство 4: биссектриса угла прямоугольника отсекает от него равнобедренный треугольник.

Доказательство: а) так как прямоугольник – это параллелограмм, а у параллелограмма биссектриса острого угла отсекает от него равнобедренный треугольник, то и у прямоугольника биссектриса любого угла отсекает от него равнобедренный треугольник.

Можно ли ещё каким либо другим способом доказать это свойство?

б) Можно. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВК и докажем равенство углов ВАК и ВКА. Тогда можно сделать вывод о равенстве сторон АВ и ВК.

Все свойства доказываются, используя свойства параллелограмма.

Получили, что прямоугольник обладает пятью свойствами:

III Закрепление изученного материала.

Задания классу: 1. Найди периметр прямоугольника (устно)

а)б)

Решение:

а) Р = (6+4)∙2, Р= 20(дм) (противоположные стороны прямоугольника равны)

б) т.к. диагонали прямоугольника равны, то ∆ M ОK и ∆ M ОN равнобедренные, ОВ и ОА являются медианами, следовательно они являются и высотами. Тогда 2ВО = MN = 8, 2АО = МK = 4.

Р = (8 + 4)∙2, Р = 24(дм)

2. Найди стороны прямоугольника, зная, что его периметр равен 24 см.

Решение: 1) ∆АВМ – равнобедренный, так как АМ – биссектриса,

значит АВ = ВМ.

2) 24 = (АВ + ВМ + МС) ∙2,

12 = АВ + ВМ + МС,

12 = ВМ + ВМ +МС,

12 = МС + 2∙ВМ.

3 МВ = 9, МВ = 3, МС = 6

4) АВ = СD = 3, AD = BC = 3 +6 = 9

Ответ: 3 см, 9 см, 3 см, 9 см.

№ 403 (учебник)

Дано: АВСО - прямоугольник, D = 30°,

значит СD = 0,5АС = 6 см.

2) АВ = СD = 6 см.

3) В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, т. е. АО = ВО = 6 см.

4) Р(аов) = АО + ВО + АВ = 6 +6+ 6 = 18см.

Ответ: 18 см.

IV Подведение итогов урока.

Прямоугольник обладает следующими свойствами:

1. Сумма углов прямоугольника равна 360°.

2. Противоположные стороны прямоугольника равны.

3. Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

4. Биссектриса угла прямоугольника отсекает от него равнобедренный треугольник.

5. Диагонали прямоугольника равны.

V Домашнее задание.

П. 45, вопросы 12,13. №399, 401 а), 404

Дома самостоятельно рассмотреть признак прямоугольника.

Цели урока

Закрепить знания учеников по теме прямоугольник;
Продолжать знакомить учащихся с определениями и свойствами прямоугольника;
Научить школьников использовать полученные знания по этой теме во время решения задач;
Развить заинтересованность к предмету математики, внимание, логическое мышление;
Воспитывать умение к самоанализу и дисциплине.

Задачи урока

Повторить и закрепить знания школьников о таком понятии, как прямоугольник, отталкиваясь от полученных знаний в предыдущих классах;
Продолжать усовершенствовать знания школьников о свойствах и признаках прямоугольников;
Продолжать формировать навыки в процессе решения заданий;
Вызвать интерес к урокам математики;
Воспитывать интерес к точным наукам и положительное отношение к урокам математики.

План урока

1. Теоретическая часть, общие сведения, определения.
2. Повторение темы «Прямоугольники».
3. Свойства прямоугольника.
4. Признаки прямоугольника.
5. Интересные факты из жизни треугольников.
6. Золотой прямоугольник, общие понятия.
7. Вопросы и задания.

Что такое прямоугольник

В предыдущих классах вы уже изучали темы о прямоугольниках. Теперь давайте освежим память и припомним, что же это за такая фигура, которая носит название прямоугольник.

Прямоугольник - это параллелограмм, четыре угла которого являются прямыми и равняются 90 градусам.

Прямоугольник - это такая геометрическая фигура, состоящая из 4-х сторон и четырех прямых углов.

Противоположные стороны прямоугольника всегда равны.

Если рассматривать определение прямоугольника по евклидовой геометрии, то чтобы четырехугольник считался прямоугольником, необходимо, чтобы в этой геометрической фигуре, хотя бы три угла были прямыми. С этого следует, что и четвертый угол тоже будет девяносто градусам.

Хотя и так понятно, что когда сумма углов четырехугольника не имеет 360 градусов, то эта фигура не является прямоугольником.

В случае, когда у правильного прямоугольника все стороны равны между собой, то такой прямоугольник носит название квадрата.

В некоторых случаях квадрат может выступать в роли ромба, если у такого ромба кроме равных между собой сторон и все углы прямые.

Чтобы доказать причастность какой-либо геометрической фигуры к прямоугольнику, достаточно чтобы эта геометрическая фигура соответствовала как минимум одному из этих требований:

1. квадрат диагонали этой фигуры должен быть равен сумме квадратов 2-х сторон, которые имеют общую точку;
2. диагонали геометрической фигуры должны иметь одинаковую длину;
3. все углы геометрической фигуры должны равняться девяносто градусам.

Если эти условия отвечают хотя бы одному требованию, то перед вами прямоугольник.

Прямоугольник в геометрии является основной базовой фигурой, у которой имеется множество подвидов, со своими особыми свойствами и характеристиками.

Задание: Назовите геометрические фигуры, которые относятся к прямоугольникам.

Прямоугольник и его свойства

А теперь давайте вспомним о свойствах прямоугольника:

У прямоугольника все его диагонали равны;
Прямоугольник – это параллелограмм с параллельными противоположными сторонами;
Стороны прямоугольника в тоже время будут и его высотами;
Прямоугольник имеет равные противоположные стороны и углы;
Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность, притом диагональ прямоугольника будет равна диаметру описанной окружности.
Диагонали прямоугольника разделяют его на 2 равных треугольника;
Следуя теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов 2-х его не противоположных сторон;

Задание:

1. Прямоугольник обладает такими двумя возможностями, при которых его можно поделить на 2 равных прямоугольника. Начертите в тетради два прямоугольника и разделите их так, чтобы получились 2 равных между собой прямоугольника.

2. Опишите вокруг прямоугольника окружность, диаметр которой будет равен диагонали прямоугольника.

3. Можно ли вписать в прямоугольник окружность так, чтобы она касалась всех его сторон, но при условии, что этот прямоугольник не является квадратом?

Признаки прямоугольника

Параллелограмм будет прямоугольником при условии:

1. если у него, по крайней мере один из углов прямой;
2. если все четыре его угла прямые;
3. если противоположные стороны равны;
4. если, хотя бы три угла прямые;
5. если у него его диагонали равны;
6. если квадрат диагонали равен сумме квадратов не противолежащих сторон.

Это интересно знать

Знали ли вы, что если в прямоугольнике, у которого неровные смежные стороны, провести биссектрисы углов, то при их пересечении в итоге получится прямоугольник.

А вот если проведенная биссектриса прямоугольника пересекает одну из его сторон, то она отсекает от этого прямоугольника, равнобедренный треугольник.

А известно ли вам, что еще до того, как Малевич написал свой выдающийся «Черный квадрат», в 1882 году на выставке в Париже представили картину Пола Било, на полотне которой был изображен черный прямоугольник со своеобразным названием «Битва негров в туннеле».

Такая идея с черным прямоугольником вдохновила и других деятелей культуры. Французский писатель юморист Альфонс Алле выпустил целую серию своих работ и со временем появился прямоугольный пейзаж в радикальном красном цвете под названием «Уборка урожая помидоров на берегу Красного моря апоплексическими кардиналами», который также не имел никакого изображения.

Задание

1. Назовите свойство, которое присуще только прямоугольнику?
2. В чем отличие произвольного параллелограмма от прямоугольника?
3. Верно ли утверждение, что любой прямоугольник модет быть параллелограммом? Если это так, то докажите почему?
4. Перечислите четырехугольники, которые являются прямоугольниками.
5. Сформулируйте свойства прямоугольника.

Исторический факт

Прямоугольник Эвклида

Известно ли вам, что прямоугольник Эвклида, который называют золотым сечением, долгий период времени являлся для любого здания имеющего религиозное значение, совершенной и пропорциональной основой строительства в те времена. С его помощью было построено большинство зданий эпохи Возрождения и классических храмов в Древней Греции.

«Золотым» прямоугольником принято называть такой геометрический прямоугольник, отношение большей стороны которого к меньшей равняется золотой пропорции.

Данное отношение сторон этого прямоугольника составило 382 к 618, или примерно 19 к 31. Прямоугольник Эвклида, на то время был самым целесообразным, удобным, безопасным и правильным прямоугольником из всех геометрических форм. Благодаря такой характеристике прямоугольник Эвклида или приближения к нему был использован повсюду. Его применяли в домах, картинах, предметах мебели, окнах, дверях и даже книгах.

Среди индейцев племени навахо прямоугольник сопоставляли с женской формой, так как она считалась обычной, стандартной формой дома, символизирующего женщину, которая этим домом владеет.

Предмети > Математика > Математика 8 класс

И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?

С полным правом - параллелограмм , потому что у него и (вспоминаем наш признак 2 ).

И снова, раз ромб - параллелограмм , то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Свойства ромба

Посмотри на картинку:

Как и в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм , а именно ромб.

Признаки ромба

И снова обрати внимание : должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм . Убедись:

Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ - биссектриса углов и. Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому - НЕ параллелограмм , а значит, и НЕ ромб .

То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Понятно почему? - ромб - биссектриса угла A, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Свойства четырехугольников. Параллелограмм

Свойства параллелограмма

Внимание! Слова «свойства параллелограмма » означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.

Теорема о свойствах параллелограмма.

В любом параллелограмме:

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Итак, почему верно 1)?

Раз - параллелограмм, то:

как накрест лежащие
как накрест лежащие.

Значит, (по II признаку: и - общая.)

Ну вот, а раз, то и - всё! - доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь (смотри на картинку), то есть, а именно потому, что.

Осталось только 3).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

И теперь видим, что - по II признаку (угла и сторона «между» ними).

Свойства доказали! Перейдём к признакам.

Признаки параллелограмма

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.

В значках это так:

Почему? Хорошо бы понять, почему - этого хватит. Но смотри:

Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.

Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ.

А значит:

И тоже несложно. Но …по-другому!

Значит, . Ух! Но и - внутренние односторонние при секущей!

Поэтому тот факт, что означает, что.

А если посмотришь с другой стороны, то и - внутренние односторонние при секущей! И поэтому.

Видишь, как здорово?!

И опять просто:

Точно так же, и.

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Свойства четырехугольников. Прямоугольник.

Свойства прямоугольника:

Пункт 1) совсем очевидный - ведь просто выполнен признак 3 ()

А пункт 2) - очень важный . Итак, докажем, что

А значит, по двум катетам (и - общий).

Ну вот, раз треугольники и равны, то у них и гипотенузы и тоже равны.

Доказали, что!

И представь себе, равенство диагоналей - отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^

Давай поймём, почему?

Значит, (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что - параллелограмм, и поэтому.

Значит, . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по! Ведь в сумме-то они должны давать!

Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник .

Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах ! Не любой четырехугольник с равными диагоналями - прямоугольник, а только параллелограмм!

Свойства четырехугольников. Ромб

И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?

С полным правом - параллелограмм, потому что у него и (Вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб - параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Почему? Ну, раз ромб - это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.

Почему? Да, потому же!

Иными словами, диагонали и оказались биссектрисами углов ромба.

Как в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , каждые из них является ещё и признаком ромба.

Признаки ромба.

А это почему? А посмотри,

Значит, и оба этих треугольника - равнобедренные.

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Свойства четырехугольников. Квадрат

То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Понятно, почему? Квадрат - ромб - биссектриса угла, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Свойства параллелограмма:

Противоположные стороны равны: , .
Противоположные углы равны: , .
Углы при одной стороне составляют в сумме: , .
Диагонали делятся точкой пересечения пополам: .

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны: .
Прямоугольник - параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).

Свойства ромба:

Диагонали ромба перпендикулярны: .
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: ; ; ; .
Ромб - параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).

Свойства квадрата:

Квадрат - ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же.

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Доказательство

Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Противоположные стороны равны.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Противоположные стороны параллельны.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB

5. Диагонали прямоугольника равны.

AC = BD

Доказательство

Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит AB = CD .

Следовательно, \triangle ABD = \triangle DCA по двум катетам (AB = CD и AD — совместный).

Если обе фигуры — ABC и DCA тождественны, то и их гипотенузы BD и AC тоже тождественны.

Значит, AC = BD .

Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.

Докажем и это.

ABCD — параллелограмм \Rightarrow AB = CD , AC = BD по условию. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA уже по трем сторонам.

Получается, что \angle A = \angle D (как углы параллелограмма). И \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Выводим, что \angle A = \angle B = \angle C = \angle D . Все они по 90^{\circ} . В сумме — 360^{\circ} .

Доказано!

6. Квадрат диагонали равен сумме квадратов двух прилежащих его сторон.

Это свойство справедливо в силу теоремы Пифагора.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

AO = BO = CO = DO

9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности .

10. Сумма всех углов равна 360 градусов.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ}

11. Все углы прямоугольника прямые.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ}

12. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.

13. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.

Это свойство справедливо в силу того, что сумма противоположных углов прямоугольника равна 180^{\circ}

\angle ABC = \angle CDA = 180^{\circ},\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^{\circ}

14. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если он имеет одинаковые длины сторон (является квадратом).